아벨리아 상
Abel이라는 이름에 대해 말하는 독자는 거의 없습니다. 아니요, 이것은 자신의 형제 가인에게 죽임을 당한 불행한 청년에 관한 것이 아닙니다. 저는 노르웨이 수학자 Niels Henrik Abel(1802–1829)과 노르웨이 과학 아카데미에서 방금 수여한(16년 2016월 XNUMX일) 그의 이름을 딴 상과 Andrew J. Wiles 경에게 보낸 편지를 언급하고 있습니다. 이것은 세계에서 가장 중요한 과학상의 범주 순위에서 알프레드 노벨에 의해 제외된 수학자들을 보상합니다.
수학자들은 소위 감사합니다. 필즈 메달 (공식적으로 해당 분야에서 가장 높은 월계관으로 간주됨) 15과 관련이 있습니다. (수백만이 아니라 수천!) 우승자까지 캐나다 달러 아벨상 6백만 노르웨이 크로네(약 750 8유로) 수표를 주머니에 넣습니다. 노벨상 수상자는 865억 XNUMX만 SEK(약 XNUMX만 크로나)를 받습니다. 유로 - 큰 토너먼트에서 우승한 테니스 선수보다 적습니다. 알프레드 노벨이 수상자 후보에 수학자를 포함시키지 않은 데에는 몇 가지 이유가 있을 수 있습니다. 노벨의 유언은 인류에게 가장 큰 이익을 가져다주는 "발명과 발견"을 다루었지만 아마도 이론적이 아니라 실용적일 것입니다. 수학은 인류에게 실질적인 혜택을 줄 수 있는 과학으로 간주되지 않았습니다.
왜 아벨인가
누구였지 닐스 헨리크 아벨 그리고 그는 무엇으로 유명했습니까? 그는 27세의 나이에 결핵으로 사망했지만 수학의 영원한 정착물이 되었기 때문에 천재임에 틀림없습니다. 글쎄, 이미 중학교 때 그들은 우리에게 방정식을 푸는 법을 가르칩니다. XNUMX도, 그 다음 정사각형, 때로는 입방체. 이미 XNUMX년 전에 이탈리아 과학자들은 사차 방정식순진해 보이는 사람도:
요소 중 하나
예, 과학자들은 이미 XNUMX 세기에 이것을 할 수있었습니다. 더 높은 정도의 방정식이 고려되었다고 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 그리고 아무것도. XNUMX년 동안 아무도 성공하지 못했습니다. Niels Abel도 실패했습니다. 그리고 그는 깨달았습니다 ... 아마도 전혀 불가능할 것입니다. 증명할 수 있다 그러한 방정식을 풀 수 없다는 것 - 또는 오히려 간단한 산술 공식으로 솔루션을 표현합니다.
2의 첫 번째였습니다. 이러한 유형의 추론의 년(!): 무언가를 증명할 수 없고, 무언가를 할 수 없습니다. 그러한 증명에 대한 독점권은 수학에 속합니다. 실용 과학은 점점 더 장벽을 허물고 있습니다. 1888년 미국 특허위원회 의장은 "거의 모든 것이 이미 발명되었기 때문에 미래에 기대할 수 있는 발명은 거의 없다"고 선언했습니다. 오늘날 우리는 이것을 비웃는 것조차 어렵습니다... 그러나 수학에서는 일단 증명되면 그것은 손실됩니다. 그것은 할 수 없습니다.
역사는 내가 기술한 발견을 닐스 아벨 i 에바리스타 갈루아, 둘 다 "신의 선택"으로 동시대 사람들에 의해 과소 평가 된 XNUMX 세 이전에 사망했습니다. Niels Abel은 널리 알려진 몇 안 되는 노르웨이 수학자 중 한 명입니다(실제로 두 명, 다른 한 명은 이소퍼스, 1842-1899 - 이름이 스칸디나비아인처럼 들리지 않지만 둘 다 노르웨이 원주민이었습니다.
노르웨이 인은 스웨덴 인과 상충합니다. 불행히도 이것은 이웃 사람들 사이에서 일반적입니다. 노르웨이 사람들이 아벨상을 제정한 동기 중 하나는 그들의 동포들에게 알프레드 노벨을 보여주고자 하는 열망이었습니다. 제발, 우리는 더 나쁘지 않습니다.
존재하지 않는 마진 항목 추적
여기 Niels Henrik Abel이 있습니다. 이제 수상자인 63세의 영국인(미국에 거주)에 대해 알아보겠습니다. 1993년 그의 업적은 에베레스트 등반, 달 등반 등에 비할 수 밖에 없었습니다. 누구야 선생님 앤드류 와일스? 그의 출판물 목록과 가능한 다양한 인용 색인을 보면 그는 훌륭한 과학자가 될 것입니다. 수천 개가 있습니다. 그러나 그는 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 간주됩니다. 그의 연구는 정수론과 관련이 있으며 다음과의 관계를 사용합니다. 대수 기하학 오라즈 표현 이론.
그는 수학의 관점에서 전혀 관련이 없는 문제를 해결한 것으로 유명해졌습니다. 페르마의 마지막 정리 증명 (무슨 말인지 모르시는 분들은 아래를 참고하세요.) 그러나 진정한 가치는 솔루션 자체가 아니라 다른 많은 중요한 문제를 해결하는 데 사용되는 새로운 연구 방법의 생성이었습니다.
특정 문제의 의미, 인간 성취의 위계에 대해 성찰하지 않는 것은 불가능합니다. 수십만 명의 젊은이들이 다른 사람들보다 공을 더 잘 차는 꿈을 꾸고, 수만 명이 히말라야 바람에 몸을 노출하고, 다리의 고무에서 뛰어 내리고, 노래라고 부르는 소리를 내고, 다른 사람들에게 건강에 해로운 음식을 채우고 싶어합니다. 누구에게나 불필요한 방정식. 최초의 에베레스트 산 정복자, 에드워드 힐러리 경, 그가 그곳에 간 이유에 대한 질문에 직접 대답했습니다. "그가 있기 때문에 에베레스트가 있기 때문입니다!" 이 단어의 저자는 평생 동안 수학자였으며 그것은 내 인생의 레시피였습니다. 유일하게 정답! 그러나이 철학을 끝내자. 다시 건강한 수학의 길로 돌아갑시다. 왜 페르마의 정리에 대한 모든 소란?
나는 우리 모두 그들이 무엇인지 알고 있다고 생각합니다. 소수. 분명히 모든 사람은 특히 우리 아들이 시계를 부품으로 바꿀 때 "인수 분해"라는 문구를 이해합니다.
피에르 드 페르마 (1601-1665)는 툴루즈 출신의 변호사였지만 아마추어로서 수학을 다루기도 했으며, 수론과 분석에 관한 많은 정리의 저자로 수학사에 기록되었기 때문에 꽤 좋은 결과를 얻었습니다. 그는 자신이 읽은 책의 여백에 자신의 말과 논평을 두는 습관이 있었습니다. 그리고 맞습니다. 1660년경에 그는 여백 중 하나에 다음과 같이 썼습니다.
여기 Pierre de Fermat가 있습니다. 그의 시대 이후로(그리고 용감한 Gascon 귀족 d'Artagnan이 그 당시 프랑스에 살았고 Andrzej Kmitsich가 폴란드에서 Boguslav Radziwill과 싸웠다는 것을 상기시켜 드리겠습니다) 수백, 아마도 수천 명의 크고 작은 수학자들이 다음을 재구성하려고 시도했지만 실패했습니다. 화려한 아마추어의 잃어버린 추론 . 오늘날 우리는 Fermat의 증명이 정확할 수 없다고 확신하지만, 방정식 xn + 너n = 디n, n> 2는 자연수의 해를 가짐? 그렇게 어려울 수 있습니다.
23년 1993월 XNUMX일에 일하러 온 많은 수학자들은 그들의 이메일(그 당시에는 신선하고 여전히 따뜻한 발명품이었습니다)에서 다음과 같은 간결한 메시지를 발견했습니다. "영국의 소문: Wiles는 Fermat를 증명합니다." 다음날 일간 언론은 그것에 대해 썼고 Wiles의 마지막 강의 시리즈는 유명한 축구 선수의 회의에서와 마찬가지로 언론, 텔레비전 및 사진 기자를 모았습니다.
Kornel Makuszyński의 "XNUMX학년의 사탄"을 읽은 사람은 Adaś Cisowski가 학생 질문 시스템을 발견한 역사 교수의 형제인 Iwo Gąsowski가 한 일을 분명히 기억할 것입니다. Iwo Gąsowski는 시간과 재산을 낭비하고 집을 소홀히 하면서 Fermat의 방정식을 풀고 있었습니다.
결국 이오씨는 권력에 의한 계산으로 가족의 행복을 담보할 수 없다는 것을 깨닫고 포기했다. Makuszyński는 과학을 좋아하지 않았지만 Mr. Gąsowski에 대해서는 옳았습니다. Iwo Gąsowski는 한 가지 근본적인 실수를 저질렀습니다. 그는 진정한 의미의 전문가가 되려고 한 것이 아니라 아마추어처럼 행동했습니다. Andrew Wiles는 프로입니다.
페르마의 마지막 정리에 맞서 싸우는 이야기는 흥미롭다. 소수인 지수에 대해 해결하는 것으로 충분하다는 것을 아주 간단하게 볼 수 있습니다. n = 3에 대한 해는 1770년에 주어졌습니다. 레오나드 오일러, n = 5 – 피터 구스타프 르준 디리클레 (1828)과는 아드리엔 마리 르장드르 1830년, 그리고 n = 7에서 – 가브리엘 라메 1840년. XNUMX 세기 독일 수학자는 Fermat의 문제에 대부분의 에너지를 바쳤습니다. 에른스트 에두아르트 쿠머 (1810-1893). 궁극적인 성공을 거두지는 못했지만 그는 많은 특별한 경우를 증명했고 소수의 중요한 속성을 많이 발견했습니다. 현대 대수학, 이론적 산술 및 대수적 수론의 대부분은 Fermat의 정리에 대한 Kummer의 작업에 기원을 두고 있습니다.
고전 정수론의 방법으로 페르마의 문제를 풀 때, 그것들은 복잡도가 서로 다른 두 가지 경우로 나뉘었습니다. 첫 번째는 곱 xyz가 지수 n과 서로소(coprime)라고 가정할 때이고, 두 번째는 숫자 z가 멱지수. 두 번째 경우는 n=150까지, 첫 번째 경우는 n=000까지 해가 없는 것으로 알려졌다(Lehmer, 6). 이것은 가능한 반례가 어떤 경우에도 불가능하다는 것을 의미했습니다. 이를 얻으려면 수십억 자릿수가 필요합니다.
여기 당신을 위한 오래된 이야기가 있습니다. 1988년 초, 수학계에서는 다음과 같은 사실이 알려졌습니다. 미야오카 요이치 다음과 같은 부등식을 증명했습니다. 지수 n만 충분히 크면 Fermat의 방정식에는 확실히 해가 없습니다. 독일의 약간 더 이른 결과에 비해 게르트 팔팅스 (1983) Miyaoka의 결과는 솔루션이 있는 경우 (비례의 관점에서) 유한한 수만 있음을 의미했습니다. 따라서 Fermat의 문제의 솔루션은 많은 사례의 끝을 나열하는 것으로 축소됩니다. 불행히도 그들 중 얼마나 많은 것이 알려지지 않았습니까? Miyaoka가 사용하는 방법은 이미 "순서대로"있는 것이 얼마나 많은지 추정하는 것을 허용하지 않았습니다.
수년 동안 Fermat의 정리에 대한 연구가 순수한 정수론의 틀 내에서 수행되지 않고 대수 기하학, 대수학에서 파생된 수학적 학문 및 데카르트 분석 기하학의 확장 내에서 수행되었다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 수학의 기초(논리학의 토포이 이론)에서 수학적 분석(공동학적 방법, 함수 도르래), 고전 기하학, 이론 물리학(벡터 번들, 트위스터 공간, 솔리톤)까지 거의 모든 곳에 퍼져 있습니다.
명예가 중요하지 않을 때
페르마의 문제를 해결하는 데 큰 기여를 한 수학자의 운명에 대해 슬퍼하지 않는 것도 어렵습니다. 나는 아라키엘에 대해 이야기하고 있습니다.수렌 유리에비치 아라켈로프, 아르메니아 뿌리를 가진 우크라이나 수학자), 그는 80 학년 때인 XNUMX 년대 초에 소위를 만들었습니다. 산술 다양성에 대한 교차 이론. 이러한 표면은 구멍과 결함으로 가득 차 있으며 표면의 곡선이 갑자기 사라졌다가 다시 나타날 수 있습니다. 교차 이론은 이러한 곡선의 교차 정도를 계산하는 방법을 설명합니다. 그것은 Faltings와 Miyaoka가 Fermat의 문제에 대한 연구에서 사용한 주요 도구였습니다.
Arakelov가 대규모 수학 회의에서 그의 결과를 발표하도록 초대받은 적이 있습니다. 그러나 그는 소련 체제에 비판적이었기 때문에 출국 허가를 받지 못했다. 곧 그는 군대에 징집되었습니다. 그는 평화주의적 이유로 일반적으로 병역에 반대한다는 것을 도전적으로 보여주었다. 다소 모호한 출처에서 알게 된 것처럼 그는 폐쇄 된 정신 병원으로 보내져 약 XNUMX 년을 보냈다고합니다. 아시다시피 정치적 목적으로 소련 정신과 의사는 특별한 유형의 정신 분열증을 골라 냈습니다 (영어로 "부진"을 의미하는 러시아어로 부진한 정신 분열증).
내 정보 출처가 그다지 신뢰할 수 없기 때문에 그것이 실제로 어땠는지 XNUMX% 말하기는 어렵습니다. 분명히 병원을 떠난 후 Arakelov는 Zagorsk의 수도원에서 몇 달을 보냈습니다. 그는 현재 아내와 세 자녀와 함께 모스크바에 살고 있습니다. 그는 수학을 하지 않습니다. Andrew Wiles는 명예와 돈으로 가득 차 있습니다.
풍족한 유럽 사회의 관점에서 보면 그 발걸음도 이해할 수 없다 그레고리 페렐만2002년에 그는 XNUMX세기의 가장 유명한 위상 문제를 해결했습니다.”포이나리 추측그런 다음 그는 가능한 모든 상을 거부했습니다. 먼저 수학자들이 노벨상과 동등하다고 생각하는 서두에서 언급한 필즈 메달, 그리고 XNUMX세기 이후에 남겨진 가장 중요한 XNUMX가지 수학 문제 중 하나를 해결한 것에 대해 백만 달러의 상을 수여합니다. "다른 사람들이 더 나았고, 나는 명예에 관심이 없습니다. 왜냐하면 수학은 제 취미이기 때문입니다. 저는 음식과 담배를 가지고 있습니다." 그는 다소 놀란 세상에 말했습니다.
300년 이상의 성공
페르마의 마지막 정리는 확실히 수학에서 가장 유명하고 놀라운 문제였습니다. XNUMX년 이상 개방되어 매우 명확하고 읽기 쉬운 방식으로 공식화되었으며 이론적으로 누구에게나 공격이 가능했으며 컴퓨터 시대에는 가능한 솔루션을 추정하는 또 다른 기록을 깨는 것이 상대적으로 쉬웠습니다. 수학의 역사에서 이 문제는 고무적인 역할을 통해 전체 수학 분야의 출현에 기여하는 매우 중요한 "문화 형성" 역할을 했습니다. 문제 자체가 상대적으로 사소하고 페르마 방정식의 근이 없다는 단순한 정보가 수학적 지식의 보금자리에 크게 기여하지 않았기 때문에 이상합니다.
1847년 가브리엘 라메(1795-1870)는 프랑스 과학 아카데미에서 페르마의 문제에 대한 해결책을 발표하는 강의를 했습니다. 그러나 추론의 미묘한 오류가 즉시 발견되었습니다. 고유한 분해 정리의 무단 사용에 근거한 것입니다. 예를 들어 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503과 같이 각 숫자는 소인수로 고유하게 분해된다는 것을 학교에서 기억합니다. 숫자 503에는 약수가 없으므로(1과 503 자체 제외) 더 이상 확장할 수 없습니다.
분포의 고유성 속성은 양의 정수에 의해 소유되지만 다른 숫자 집합 중에서 반드시 그럴 필요는 없습니다. 예를 들어 문자 숫자의 경우
우리는 36 = 22⋅23 ,뿐만 아니라
Lame의 증명을 분석함으로써 Kummer는 p의 일부 지수에 대한 Fermat의 추측의 타당성을 증명할 수 있었습니다. 그는 그것들을 정규 소수라고 불렀습니다. 이것은 완전한 증명을 향한 첫 번째 중요한 단계였습니다. 페르마의 정리를 중심으로 신화가 생겨났습니다. "아니면 더 나쁠 수도 있습니다. 해결이 가능하거나 불가능하다는 것을 증명할 수도 없습니까?"
그러나 80년대 이후에는 모두가 목표가 가까웠다고 느꼈습니다. 베를린 장벽이 여전히 서 있었고 이미 "곧, 곧"에 대한 강의를 듣고 있었던 것을 기억합니다. 글쎄요, 누군가가 먼저여야 했습니다. 앤드류 와일즈는 "페르마가 그것을 증명했다고 생각합니다."라는 영어 가래로 강의를 마쳤고, 붐비는 청중이 무슨 일이 일어났는지 깨닫기까지 어느 정도 시간이 걸렸습니다. 연대 자체와 Makushinsky 소설의 Ivo Gonsovsky와 같은 수많은 아마추어. 그리고 Andrew Wiles는 노르웨이 왕 Harald V와 악수하는 영광을 누렸습니다. 아마도 그는 약 수십만 유로에 달하는 Abel Prize의 겸손한 수당에주의를 기울이지 않았을 것입니다. 왜 그렇게 많은 돈이 필요합니까?
