반전 매력

수학뿐만 아니라 "반대의 아름다움"에 관해 많은 이야기가 있습니다. 반대 숫자는 부호만 다른 숫자(더하기 7과 빼기 7)라는 점을 기억하세요. 반대 숫자의 합은 1입니다. 그러나 우리(즉 수학자)에게는 역수가 더 흥미롭습니다. 숫자의 곱이 XNUMX과 같으면 이 숫자는 서로 반대입니다. 모든 숫자에는 반대가 있고, XNUMX이 아닌 모든 숫자에는 반대가 있습니다. 역의 역은 씨앗입니다.

반전은 두 양이 서로 관련되어 하나가 증가하면 다른 양이 해당 속도로 감소하는 곳에서 발생합니다. "대응"은 이러한 수량의 곱이 변하지 않음을 의미합니다. 우리는 학교에서 기억합니다. 이것은 반비례입니다. 목적지까지 시간을 절반으로 단축하려면(즉, 시간을 절반으로 줄이려면) 속도를 두 배로 늘려야 합니다. 가스로 밀봉된 용기의 부피를 n배 줄이면 압력은 n배 증가합니다.

초등 교육에서는 차별적 비교와 상대적 비교를 신중하게 구분합니다. "얼마나 더"? - "얼마나 더?"

다음은 학교 행사입니다:

작업 1. 두 개의 양수 중에서 첫 번째는 두 번째보다 5배 크고 동시에 첫 번째보다 5배 더 큽니다. 치수는 무엇입니까?

작업 2. 한 숫자가 두 번째 숫자보다 3만큼 크고, 두 번째 숫자가 세 번째 숫자보다 2만큼 크다면, 첫 번째 숫자가 세 번째 숫자보다 얼마나 더 큰가요? 첫 번째 양수가 두 번째 숫자의 두 배이고 첫 번째 숫자가 세 번째 숫자의 XNUMX배라면 첫 번째 숫자가 세 번째 숫자보다 몇 배나 더 큰가요?

작업 3. 작업 2에서는 자연수만 허용됩니다. 거기에 설명된 대로의 합의가 가능합니까?

작업 4. 두 개의 양수 중에서 첫 번째는 두 번째보다 5배 크고, 두 번째는 첫 번째보다 5배 더 큽니다. 가능합니까?

"평균" 또는 "평균"의 개념은 매우 단순해 보입니다. 월요일에 55km, 화요일에 45km, 수요일에 80km를 주행했다면 하루 평균 자전거 주행 거리는 60km가 됩니다. 우리는 이 계산에 진심으로 동의합니다. 비록 하루에 60km를 타본 적이 없기 때문에 조금 이상하긴 하지만요. 우리는 또한 한 사람의 몫을 쉽게 받아들입니다. 33일 이내에 XNUMX명이 레스토랑을 방문하면 일일 평균 요금은 XNUMX명과 XNUMX분의 XNUMX이 됩니다. 흠!

평균 크기에만 문제가 있습니다. 나는 자전거 타기를 좋아합니다. 그래서 저는 여행사 "Let 's go with us"의 제안을 활용했습니다. 그들은 고객이 레크리에이션 목적으로 자전거를 타는 호텔로 수하물을 배달합니다. 금요일에 저는 24시간 동안 운전했습니다. 처음 두 시간은 시속 16km의 속도로 운전했습니다. 그런 다음 나는 너무 피곤해서 시간당 24의 속도로 다음 16를 위해. 내 평균 속도는 얼마였습니까? 물론 (2+20)/20=XNUMXkm=XNUMXkm/h.

그런데 토요일에 짐을 호텔에 맡겨두고 24km 떨어진 성터를 보러 갔다가 보고 돌아왔습니다. 한 방향으로 한 시간 동안 운전한 후 시속 16km의 속도로 천천히 돌아왔습니다. 호텔-성-호텔 경로에서 내 평균 속도는 얼마였습니까? 시속 20km? 당연히 아니지. 결국 총 48km를 운전했고 돌아오는 데 48시간(“거기”) 48시간 2,5분이 걸렸습니다. 192시간 10분 만에 19,2km, 즉 시간 XNUMX/XNUMX=XNUMX/XNUMX=XNUMXkm! 이 상황에서 평균 속도는 산술 평균이 아니라 주어진 값의 조화입니다.

그리고 이 1층 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다: 양수의 조화 평균은 그 역수의 산술 평균의 역수입니다. 역의 합에 대한 역수는 학교 과제의 여러 합창단에 나타납니다. 한 작업자가 몇 시간 동안 파고 다른 작업자가 b 시간 동안 파는 경우 함께 작업하면 시간에 맞춰 파는 것입니다. 물이 있는 수영장(2시간에 한 번, XNUMX시간에 한 번). 한 저항에 RXNUMX이 있고 다른 저항에 RXNUMX가 있으면 병렬 저항이 있습니다. 

한 컴퓨터가 몇 초 만에 문제를 해결할 수 있다면, 다른 컴퓨터는 몇 초 만에 문제를 해결할 수 있다면, 두 컴퓨터가 함께 작동하면...

멈추다! 모든 것이 네트워크 속도, 즉 연결 효율성에 따라 달라지기 때문에 비유는 여기서 끝납니다. 근로자들은 서로를 방해하거나 도울 수도 있습니다. 한 사람이 1시간 안에 우물을 파면 10명의 작업자가 6/6시간(또는 XNUMX분) 안에 우물을 파는 것이 가능할까요? XNUMX명의 짐꾼이 XNUMX분 안에 피아노를 XNUMX층까지 배달한다면, 그 중 한 명이 피아노를 XNUMX층까지 배달하는 데는 얼마나 걸릴까요? 그러한 문제의 부조리함은 우리로 하여금 모든 수학이 "실제 생활" 문제에 제한적으로 적용 가능하다는 것을 기억하게 만듭니다.

친애하는 판매자 

저울은 더 이상 사용되지 않습니다. 그러한 저울의 한쪽 그릇에 추를 얹고 무게를 재는 물건을 다른 그릇에 올려 놓고 무게가 평형을 이루면 무게만큼 물건의 무게가 나간다는 것을 기억하십시오. 물론 웨이트 로드의 양쪽 팔 길이가 같아야 합니다. 그렇지 않으면 계량이 부정확해집니다.

아 맞다. 어깨가 맞지 않고 체중이 많이 나가는 영업사원을 상상해 보십시오. 그러나 그는 고객에게 정직하기를 원하며 두 배치로 나누어 상품의 무게를 측정합니다. 먼저, 그는 한 팬에 저울을 놓고 다른 팬에는 그에 상응하는 양의 물건을 올려 저울이 균형을 이루도록 합니다. 그런 다음 그는 상품의 두 번째 "절반"의 무게를 역순으로 측정합니다. 즉, 무게를 두 번째 팬에 놓고 상품을 첫 번째 팬에 놓습니다. 손이 동일하지 않기 때문에 절반도 동일하지 않습니다. 그리고 판매자는 깨끗한 양심을 가지고 있으며 구매자는 "그가 여기서 제거한 것을 나중에 추가했습니다."라고 그의 정직성을 칭찬합니다.

하지만 위태로운 무게에도 불구하고 정직하고자 하는 판매자의 행동을 자세히 살펴보자. 저울의 팔 길이를 a와 b라고 하자. 그릇 중 하나에 2kg의 무게가 실리고 다른 그릇에 x개의 물건이 실리면 첫 번째는 ax = b이고 두 번째는 bx = a이면 저울은 평형 상태에 있습니다. 따라서 상품의 첫 번째 부분은 b / a 킬로그램이고 두 번째 부분은 a / b입니다. 좋은 무게는 a=b이므로 구매자는 0kg의 상품을 받게 됩니다. a ≠ b일 때 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 그런 다음 a – b ≠ XNUMX이고 감소된 곱셈 공식에서 우리는

우리는 예상치 못한 결과에 도달했습니다. 이 경우 공정해 보이는 "평균화" 측정 방법은 더 많은 상품을 받는 구매자에게 이익이 됩니다.

5 할당. (중요합니다. 수학에서는 전혀 아닙니다!). 모기의 무게는 2,5mg이고 코끼리의 무게는 XNUMX톤입니다(이것은 매우 정확한 데이터입니다). 모기와 코끼리의 질량(무게)의 산술, 기하 및 조화 평균을 계산합니다. 계산을 확인하고 산술 연습 이상의 의미가 있는지 확인하십시오. "실생활"에서는 말이 안 되는 수학 계산의 다른 예를 살펴보겠습니다. 팁: 우리는 이미 이 글에서 한 가지 예를 살펴보았습니다. 이것은 내가 인터넷에서 찾은 익명의 학생의 의견이 옳았다는 것을 의미합니까? "수학은 숫자로 사람을 속인다"?

예, 수학의 장엄함에서 사람들을 "속일"수 있다는 데 동의합니다. 매초 샴푸 광고에 따르면 솜털이 일정 비율 증가한다고합니다. 범죄 활동에 사용할 수 있는 유용한 일상 도구의 다른 예를 찾아볼까요?

그램!

이 구절의 제목은 명사(XNUMX/XNUMX킬로그램의 주격 복수형)가 아닌 동사(XNUMX인칭 복수형)입니다. 조화는 질서와 음악을 전제로 합니다. 고대 그리스인들에게 음악은 과학의 한 분야였습니다. 물론 그렇게 말하면 "과학"이라는 단어의 현재 의미를 우리 시대 이전으로 옮기는 것입니다. 피타고라스는 기원전 XNUMX세기에 살았는데 컴퓨터, 휴대폰, 이메일을 몰랐을 뿐만 아니라 로베르트 레반도프스키, 미에슈코 XNUMX세, 샤를마뉴, 키케로가 누구인지도 몰랐습니다. 그는 아라비아 숫자나 심지어 로마 숫자(기원전 XNUMX세기 경에 사용됨)도 몰랐고, 포에니 전쟁이 무엇인지도 몰랐습니다... 하지만 그는 음악을 알고 있었습니다...

그는 현악기의 진동 계수가 현의 진동 부분의 길이에 반비례한다는 것을 알고 있었습니다. 그는 알고 있었습니다. 그는 오늘날 우리가 하는 방식으로 그것을 표현할 수 없다는 것을 알고 있었습니다.

한 옥타브를 구성하는 두 현 진동의 주파수는 1:2 비율입니다. 즉, 높은 음의 주파수는 낮은 주파수의 두 배입니다. 2도의 올바른 진동 비율은 3:3, 4도는 4:5, 순수 장5도는 6:6, 단7도는 7:8입니다. 이것은 즐거운 자음 간격입니다. 그런 다음 8:9과 9:10의 진동 비율을 가진 두 개의 중립적인 것, 그리고 불협화음인 큰 톤(XNUMX:XNUMX), 작은 톤(XNUMX:XNUMX)이 있습니다. 이러한 분수(비율)는 수학자들이 조화 급수라고 부르는 연속적인 구성원의 비율과 같습니다.

이론적으로 무한합이다. 옥타브의 진동 비율은 2:4로 쓸 수 있고 그 사이에 2분의 3을 넣을 수 있습니다: 4:XNUMX:XNUMX, 즉 옥타브를 XNUMX분의 XNUMX과 XNUMX분의 XNUMX로 나눕니다. 이것은 수학에서 하모닉 세그먼트 분할이라고 합니다.

쌀. 1. 음악가의 경우: 옥타브 AB를 다섯 번째 AC로 나눕니다.수학자를 위한: 조화 분할

(위에서) 고조파 급수와 같이 이론적으로 무한한 합에 관해 이야기할 때 내가 말하는 것은 무엇을 의미합니까? 그러한 합계는 큰 숫자가 될 수 있으며 가장 중요한 것은 우리가 충분히 길게 추가한다는 것입니다. 재료는 점점 줄어들지만, 점점 많아지네요. 무엇이 우선합니까? 여기서 우리는 수학적 분석 분야로 들어갑니다. 재료가 고갈되었지만 그리 빠르지는 않은 것으로 나타났습니다. 나는 충분한 재료가 주어지면 합계를 낼 수 있음을 보여줄 것입니다.

임의로 크다. 예를 들어 n = 1024라고 가정하고 그림과 같이 단어를 그룹화해 보겠습니다.

각 괄호에서 각 단어는 이전 단어보다 큽니다. 단, 마지막 단어는 그 자체와 동일합니다. 다음 괄호에는 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 및 512 구성 요소가 있습니다. 각 괄호 안의 합계 값이 ½보다 큽니다. 이 모든 것은 5½ 이상입니다. 보다 정확한 계산에 따르면 이 금액은 약 7,50918입니다. 많지는 않지만 항상 n을 크게 하면 어떤 숫자든 이길 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 믿을 수 없을 정도로 느리지만(예를 들어 재료만으로 XNUMX개를 초과함) 끝없는 성장은 항상 수학자들을 매료시켰습니다.

조화 계열을 통해 무한으로의 여행

여기 꽤 진지한 수학에 대한 수수께끼가 있습니다. 우리는 예를 들어 4 × 2 × 1 크기의 직사각형 블록(내 말은 직사각형!)을 무제한으로 공급하고 있습니다. 무화과. 2 - XNUMX) 블록, 첫 번째는 길이의 ½, 두 번째는 위에서 ¼ 등, 세 번째는 XNUMX/XNUMX만큼 기울어 지도록 배열됩니다. 음, 정말 안정적으로 만들기 위해 첫 번째 브릭을 조금 덜 기울이겠습니다. 계산에는 중요하지 않습니다.

쌀. 2. 무게중심의 결정

처음 두 블록으로 구성된 도형(위에서 세어 보면)은 B점에 대칭 중심이 있으므로 B가 무게 중심이라는 것도 이해하기 쉽습니다. 세 개의 상부 블록으로 구성된 시스템의 무게 중심을 기하학적으로 결정해 보겠습니다. 여기서는 매우 간단한 주장으로 충분합니다. XNUMX블록 구성을 정신적으로 두 개의 상위 블록과 세 번째 하위 블록으로 나누어 보겠습니다. 이 중심은 두 부품의 무게 중심을 연결하는 단면에 있어야 합니다. 이번 에피소드의 어느 시점에서요?

지정 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째로, 우리는 이 중심이 3블록 피라미드의 중앙, 즉 두 번째 중앙 블록과 교차하는 직선 상에 있어야 한다는 관찰을 사용할 것입니다. 두 번째 방법에서는 상위 두 블록의 총 질량이 단일 블록 #2(위)의 두 배이므로 이 단면의 무게 중심은 세 번째 블록의 중심 S보다 B에 두 배 더 가까워야 합니다. 차단하다. 마찬가지로 다음 지점을 찾습니다. 발견된 세 블록의 중심을 네 번째 블록의 중심 S와 연결합니다. 전체 시스템의 중심은 높이 1에 있고 세그먼트를 3에서 XNUMX으로(즉, 길이의 XNUMX/XNUMX로) 나누는 지점에 있습니다.

우리가 조금 더 수행할 계산은 그림 XNUMX에 표시된 결과로 이어집니다. 그림 3. 다음과 같은 방법으로 아래쪽 블록의 오른쪽 가장자리에서 연속적인 무게 중심이 제거됩니다.

따라서 피라미드의 무게 중심 투영은 항상 밑면 내에 있습니다. 탑은 무너지지 않을 것이다. 이제 살펴 보겠습니다. 무화과. 3 잠시 동안 위에서 다섯 번째 블록(더 밝은 색상으로 표시된 블록)을 베이스로 사용해 보겠습니다. 상단 기울어짐:

따라서 왼쪽 가장자리는 밑면의 오른쪽 가장자리보다 1 더 멀습니다. 다음 스윙은 다음과 같습니다.

가장 큰 스윙은 무엇입니까? 우리는 이미 알고 있어요! 가장 큰 것은 없습니다! 가장 작은 블록이라도 가져가면 XNUMXkm의 돌출부를 얻을 수 있습니다. 불행히도 수학적으로만 가능합니다. 지구 전체가 너무 많은 블록을 만들기에는 충분하지 않습니다!

쌀. 3. 더 많은 블록 추가

이제 위에 남겨둔 계산입니다. 우리는 x축에서 모든 거리를 "수평으로" 계산할 것입니다. 그것이 전부이기 때문입니다. A점(첫 번째 블록의 무게 중심)은 오른쪽 가장자리에서 1/2 지점에 있습니다. 점 B(1블록 시스템의 중심)는 두 번째 블록의 오른쪽 가장자리에서 4/3 위치에 있습니다. 두 번째 블록의 끝을 시작점으로 삼습니다(이제 세 번째 블록으로 이동하겠습니다). 예를 들어, 단일 블록 #1의 무게 중심은 어디에 있습니까? 이 블록 길이의 절반이므로 기준점에서 2/1 + 4/3 = 4/3만큼 제거됩니다. C 지점은 어디에 있나요? 4/1과 4/XNUMX 사이 세그먼트의 XNUMX/XNUMX, 즉 지점에서 시작점을 세 번째 블록의 오른쪽 가장자리로 변경합니다. 이제 XNUMX블록 시스템의 무게 중심이 새 참조점에서 제거됩니다. 무게중심 C_n n개의 블록으로 구성된 타워의 위치는 기준 블록의 오른쪽 가장자리인 순간 기준점으로부터 1/2n만큼 떨어져 있습니다. 즉, 위에서 n번째 블록입니다.

일련의 역수가 발산하므로 큰 변화를 얻을 수 있습니다. 이것이 실제로 실현될 수 있을까? 그것은 끝없는 벽돌 탑과 같습니다. 조만간 자체 무게로 인해 무너질 것입니다. 우리 계획에서는 블록 배치의 최소한의 부정확성(그리고 부분 행 합계의 느린 증가)은 우리가 그리 멀리 가지 않을 것임을 의미합니다.