색 사각형과 일식
이 기사는 National Children 's Fund의 장학생 인 중학생을위한 수업에 대해 설명합니다. 재단은 특히 영재 아동 및 청소년(초등학교 XNUMX학년부터 고등학교까지)을 찾아 선발된 학생들에게 "장학금"을 제공합니다. 그러나 그들은 현금을 인출하는 것이 아니라 일반적으로 수년에 걸쳐 재능 개발을 포괄적으로 관리합니다. 이러한 유형의 다른 많은 프로젝트와 달리 저명한 과학자, 문화계 인물, 저명한 인본주의자 및 기타 현명한 사람들과 일부 정치인은 재단의 와드를 진지하게 생각합니다.
재단의 활동은 예술을 포함한 스포츠를 제외한 학교의 기본 과목인 모든 분야로 확장됩니다. 이 기금은 당시 현실에 대한 해독제로 1983년에 만들어졌습니다. 누구나 기금에 지원할 수 있지만 (보통 학교를 통해, 바람직하게는 학년이 끝나기 전에) 물론 특정 체, 특정 자격 절차가 있습니다.
이미 언급했듯이이 기사는 III 고등학교의 2016th 중학교에서 24 년 2008 월 Gdynia에서 특히 마스터 클래스를 기반으로합니다. 해군. 수년 동안 이 세미나는 비범한 카리스마와 높은 지적 수준을 지닌 교사인 보이치에흐 토말치크(Wojciech Thomalczyk)가 재단의 후원으로 조직했습니다. XNUMX년에 그는 폴란드에서 교육학 교수라는 칭호를 받은 상위 XNUMX위 안에 들었습니다(수년 전에 법에 의해 제공됨). "교육은 세계의 축이다"라는 말에는 약간의 과장이 있다.
그리고 달 항상 매혹적입니다. 그러면 우리가 센티미터와 초 단위로 측정되는 모든 것이 움직이는 거대한 공간의 작은 행성에 살고 있음을 느낄 수 있습니다. 시간적 관점도 조금 두렵습니다. 우리는 오늘날 바르샤바 지역에서 볼 수 있는 다음 개기 일식이 ... 2681년에 있을 것임을 알게 됩니다. 누가 볼까? 우리 하늘에서 태양과 달의 겉보기 크기는 거의 같습니다. 그래서 일식이 매우 짧고 장관을 이루는 것입니다. 수세기 동안 그 짧은 시간은 천문학자들이 태양 코로나를 보기에 충분했습니다. 260년에 두 번 일어난다는 것이 이상하지만... 지구 어딘가에서 짧은 시간 동안만 볼 수 있다는 의미일 뿐입니다. 조석 운동의 결과로 달은 지구에서 멀어지고 있습니다. XNUMX억 XNUMX천만 년 후에는 너무 멀어서 우리(우리???)는 금환일식만 보게 될 것입니다.
처음으로 예측한 것 같습니다. 식, Miletus의 Thales (기원전 28-585 세기)였습니다. 기원전 567년 566월 소아시아에서 일식이 일어났다는 사실은 현대 계산으로 확인된 사실이기 때문에 그것이 실제로 일어났는지, 즉 그가 예측했는지는 알 수 없을 것입니다. 물론 오늘의 시간에 대한 데이터를 인용합니다. 내가 어렸을 때 나는 사람들이 어떻게 나이를 세는지 상상했습니다. 예를 들어 이것은 기원전 XNUMX 년이고 새해 전날이 다가오고 사람들은 기뻐하고 있습니다. XNUMX 년 만에 BC! 드디어 '우리 시대'가 도래했을 때 그들은 얼마나 기뻤겠습니까! 우리가 몇 년 전에 경험한 천년의 전환기!
날짜 및 범위 계산의 수학 일식, 특별히 복잡하지는 않지만 규칙 성과 관련된 모든 종류의 요소로 가득 차 있으며 더 나쁜 것은 궤도에서 신체의 고르지 않은 움직임과 관련이 있습니다. 이 수학을 알고 싶습니다. Miletus의 Thales는 어떻게 필요한 계산을 할 수 있었습니까? 답은 간단합니다. 하늘 지도가 있어야 합니다. 그런 지도를 만드는 방법? 이것은 또한 어렵지 않습니다. 고대 이집트인들은 그것을하는 방법을 알고있었습니다. 한밤중에 두 명의 사제가 성전 지붕 위로 나옵니다. 그들 각자는 앉아서 그가 보는 것을 그립니다 (동료처럼). XNUMX년 후, 우리는 행성의 움직임에 대한 모든 것을 알게 되었습니다...
아름다운 기하학, 또는 "러그"에서의 재미
그리스인들은 숫자를 좋아하지 않았고 기하학에 의지했습니다. 이것이 우리가 할 일입니다. 우리의 식 단순하고 다채롭지만 흥미롭고 실제적일 것입니다. 파란색 그림이 빨간색 그림을 가리는 방식으로 움직인다는 관습을 받아들입니다. 파란색 그림을 달이라고 하고 빨간색 그림을 태양이라고 합시다. 우리는 스스로에게 다음과 같은 질문을 합니다.
- 일식은 얼마나 오래 지속됩니까?
- 표적의 절반이 덮였을 때;
쌀. 1 태양과 달이 있는 다색 "카펫"
- 최대 적용 범위는 얼마입니까?
- 실드 커버리지의 시간 의존성을 분석할 수 있습니까? 이 기사에서는(텍스트의 양이 제한되어 있음) 두 번째 질문에 초점을 맞출 것입니다. 그 뒤에는 지루한 계산이 없는 멋진 기하학이 있습니다. 그림을 보자. 1. 일식과 관련이 있다고 가정할 수 있습니까?
제가 논의 할 과제는 중고생의 지식과 기술에 맞게 특별히 선택 될 것이라고 솔직히 말해야합니다. 그러나 우리는 음악가가 음계를 연주하고 운동선수가 일반적인 발달 훈련을 하는 것과 같은 작업을 훈련합니다. 게다가 그냥 아름다운 양탄자 아닌가요(그림 1)?
쌀. 2 "푸른" 달과 "붉은" 태양
우리의 천체는 적어도 처음에는 색이 칠해진 사각형이 될 것입니다. 달은 파란색이고 태양은 빨간색입니다(채색에 가장 적합). 현재와 함께 식 달은 하늘을 가로질러 태양을 쫓고, 따라잡고... 닫는다. 우리도 마찬가지일 것입니다. 가장 간단한 경우는 그림 2과 같이 달이 태양에 대해 상대적으로 움직이는 경우입니다. 2. 일식은 달의 원반 가장자리가 태양 원반의 가장자리에 닿을 때 시작되고(그림 XNUMX) 그것을 넘어갈 때 끝납니다.
쌀. 3 달이 태양에 대각선으로 접근
우리는 "달"이 단위 시간당(예: 분당) 하나의 셀을 이동한다고 가정합니다. 그런 다음 일식은 XNUMX단위의 시간, 예를 들어 몇 분 동안 지속됩니다. 반 일식 완전히 어두워짐 다이얼의 절반이 두 번 닫힙니다: 2분 및 6분 후. 백분율 차폐 그래프는 간단합니다. 처음 1분 동안 실드는 XNUMX대 XNUMX의 비율로 균일하게 닫히고 다음 XNUMX분은 같은 비율로 노출됩니다.
다음은 더 흥미로운 예입니다(그림 3). 달은 태양에 대각선으로 접근합니다. 분당 지불 계약에 따르면 일식은 8√ 동안 지속됩니다.2 분 - 이 시간의 중간에 개기 일식이 있습니다. 시간 t 이후 태양의 어느 부분이 가려지는지 계산해 봅시다(그림 3). 일식이 시작된 후 t분이 경과하면 그 결과 달은 그림 5과 같이 됩니다. 4, 그런 다음 (주의!) 따라서 태양 디스크의 절반에 해당하는 (정사각형 APQR의 면적) 덮여 있습니다. 4분 후(일식이 끝나기 XNUMX분 전).
쌀. 4 "쉐이딩" 기능의 그래프
전체 한 순간 동안 지속됨(t = 4√2), "음영 부분" 함수의 그래프는 두 개의 포물선 호로 구성됩니다(그림 4).
우리의 푸른 달은 붉은 태양과 함께 모퉁이에 닿지만 대각선이 아닌 약간 대각선으로 가려고 움직임을 약간 복잡하게 만들면 흥미로운 기하학이 나타납니다 (그림 6). 이동 방향은 이제 벡터[4,3], 즉 "오른쪽으로 XNUMX셀, 위로 XNUMX셀"입니다. 태양의 위치는 "천체"의 측면이 길이의 XNUMX/XNUMX에 수렴할 때 일식이 시작되는 위치(위치 A)입니다. 달이 B 위치로 이동하면 태양의 XNUMX분의 XNUMX이 가려지고 C 위치에서는 절반이 가려집니다. 위치 D에서 우리는 개기 일식이 있고 모든 것이 "그대로" 되돌아갑니다.
쌀. 5 시간 t 동안 숨겨진 태양의 일부
일식은 달이 G 위치에 있을 때 끝납니다. 단면 길이 AG. 이전과 같이 달이 "한 칸"을 통과하는 시간을 시간 단위로 취하면 AG의 길이는 같습니다. 천체가 4x4라는 예전 관습으로 돌아가면 결과가 달라집니다(뭐?). 보여주기 쉽기 때문에 t < 15 이후에 대상이 닫힙니다. "화면 적용 비율" 기능의 그래프는 그림에서 볼 수 있습니다. 6.
쌀. 6 "퍼센트 보호" 기능의 그래프
이클립스와 점프 방정식
쌀. 7 그림에 표시된 일식 동안 태양 디스크의 방해. 6
일식 문제는 우리가 원의 경우를 고려하지 않는다면 불완전할 것입니다. 이것은 훨씬 더 복잡하지만 하나의 원이 다른 원의 절반을 가리는 시점과 가장 간단한 경우 중 하나가 둘을 연결하는 직경을 따라 이동할 때 알아 내도록 노력합시다. 그림은 일부 신용 카드 소지자에게 친숙합니다.
필드의 위치를 계산하는 것은 첫째로 원형 부분의 면적에 대한 공식에 대한 지식, 둘째로 각도의 호에 대한 지식, 셋째 (그리고 최악의 경우) 능력이 필요하기 때문에 복잡합니다. 특정 점프 방정식을 풀기 위해. "전이 방정식"이 무엇인지 설명하지 않겠습니다. 예를 살펴보겠습니다(그림 8).
쌀. 8 "구형" 일식
원형 단면은 원을 직선으로 자르고 남은 "그릇"입니다. 이러한 세그먼트의 면적은 S = 1/2r2(φ-sinφ), 여기서 r은 원의 반지름이고 φ는 세그먼트가 놓이는 중심각입니다(그림 8). 이것은 원형 섹터의 면적에서 삼각형의 면적을 빼면 쉽게 얻을 수 있습니다.
에피소드 O1O2 (원 중심 사이의 거리)는 2rcosφ/2이고 높이(너비, "허리선") h = 2rsinφ/2입니다. 따라서 달이 태양 원반의 절반을 덮는 시기를 계산하려면 방정식을 풀어야 합니다. 단순화하면 다음과 같습니다.
쌀. 9 두 함수의 그래프
이러한 방정식의 해는 단순한 대수학을 넘어선 것입니다. 방정식에는 각도와 삼각 함수가 모두 포함되어 있습니다. 방정식은 전통적인 방법의 범위를 벗어납니다. 그래서 이름이 점프. 먼저 두 함수, 즉 함수와 함수의 그래프를 보자 이 그림에서 대략적인 솔루션을 읽을 수 있습니다. 그러나 반복 근사값을 얻거나... Excel 스프레드시트에서 해 찾기 옵션을 사용할 수 있습니다. 지금은 20세기이기 때문에 모든 고등학생이 이것을 할 수 있어야 합니다. 저는 보다 정교한 Mathematica 도구를 사용했으며 여기에 불필요한 정밀도가 소수점 이하 XNUMX 자리인 솔루션이 있습니다.
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
쌀. 10 matematica의 일식 애니메이션
180/π를 곱하여 이를 각도로 바꿉니다. 우리는 132도, 20분, 45와 XNUMX/XNUMX초를 얻습니다. 원의 중심까지의 거리는 O라고 계산합니다.1O2 = 0,808 반경, "허리" 2,310.
