비현실적인 수학 세계로의 여행
나는 컴퓨터 과학 대학에서 강의와 실습을 마친 후 환경 중 하나에서 이 기사를 썼습니다. 나는이 학교의 학생들에 대한 비판, 그들의 지식, 과학에 대한 태도, 그리고 가장 중요한 것은 그들의 교수법에 대해 자신을 변호합니다. 이건... 아무도 가르쳐주지 않아.
내가 왜 이렇게 방어적이야? 간단한 이유 때문에 저는 아마도 우리 주변의 세계가 아직 이해되지 않는 나이에 있습니다. 어쩌면 내가 그들에게 차를 운전하는 것이 아니라 말을 묶고 풀도록 가르치는 것일까요? 깃펜으로 쓰는 법을 가르쳐 줄까요? 사람에 대해 더 나은 의견을 가지고 있지만, 나는 "추종"이라고 생각하지만…
최근까지 고등학교에서는 복소수에 대해 이야기했습니다. 그리고 이번 주 수요일에 집에 와서 그만 두었습니다. 아직 학생 중 거의 아무도 그것이 무엇이며이 숫자를 사용하는 방법을 배웠습니다. 어떤 사람들은 모든 수학을 페인트 칠한 문에 있는 거위처럼 봅니다. 하지만 배우는 방법을 알려주었을 때도 정말 놀랐습니다. 간단히 말해서 강의 XNUMX시간은 교과서 읽기, 주어진 주제에 대한 문제 해결 방법 배우기 등 XNUMX시간의 숙제입니다. 이런 식으로 준비한 후 우리는 모든 것을 개선하는 연습에옵니다 ... 유쾌하게도 학생들은 강의에 앉아있는 것이 가장 자주 창 밖을 내다 보는 것이 이미 지식이 머리에 들어가는 것을 보장한다고 생각했습니다.
멈추다! 이것으로 충분합니다. 전국의 재능 있는 아이들을 지원하는 기관인 국민아동기금 장학생들과의 수업에서 받은 질문에 대한 답을 말씀드리겠습니다. 질문(또는 오히려 제안)은 다음과 같습니다.
— 비실수에 대해 말씀해 주시겠습니까?
"물론이지." 나는 대답했다.
숫자의 현실
“친구는 또 다른 나고, 우정은 220과 284의 비율입니다.”라고 피타고라스는 말했습니다. 여기서 요점은 숫자 220의 약수의 합이 284이고 숫자 284의 약수의 합이 220이라는 것입니다.
1+2+4+71+142=220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
숫자 220과 284 사이의 또 다른 흥미로운 우연은 이것입니다: 2개의 가장 높은 소수는 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 입니다. XNUMX.
합계는 2x220이고 제곱의 합은 59x284입니다.
첫 번째. "실수"라는 개념이 없습니다. 코끼리에 관한 기사를 읽은 후 "이제 코끼리가 아닌 것을 물을 것입니다."라고 묻는 것과 같습니다. 온전한 것과 비온전한 것이 있고 이성적인 것과 비합리적인 것이 있지만 비현실적인 것은 없다. 구체적으로: 실수가 아닌 숫자는 무효라고 하지 않습니다. 수학에는 많은 유형의 "숫자"가 있으며 동물 학적 비교를 위해 코끼리와 지렁이와 같이 서로 다릅니다.
둘째, 음수의 제곱근 추출과 같이 이미 금지된 작업을 수행합니다. 음, 수학은 그러한 장벽을 극복할 것입니다. 그래도 말이 되나요? 다른 과학과 마찬가지로 수학에서도 이론이 영원히 지식의 저장소에 들어가는지 여부는 이론의 적용에 달려 있습니다. 그것이 쓸모없다면 그것은 결국 쓰레기통으로, 그다음에는 지식의 역사에서 쓰레기로 남게 될 것입니다. 이 기사의 끝에서 이야기하는 숫자 없이는 수학을 발전시키는 것이 불가능합니다. 그러나 몇 가지 작은 것부터 시작합시다. 실수란 무엇입니까? 세로선을 빈틈 없이 촘촘하게 채웁니다. 또한 자연수가 무엇인지 알고 있습니다: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … 가장 위대한 기억. 그들은 또한 아름다운 이름을 가지고 있습니다 : 자연. 그들은 많은 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 당신은 이것을 어떻게 좋아합니까?
1+15+42+98+123+179+206+220=3+11+46+92+129+175+210+218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
Karl Lindenholm은 "자연수에 관심을 갖는 것은 자연스러운 일입니다."라고 말했고 Leopold Kronecker(1823–1891)는 간결하게 표현했습니다. 분수(수학자들이 유리수라고 함)도 놀라운 특성을 가지고 있습니다.
그리고 평등하게:
왼쪽부터 시작하여 플러스를 문지르고 곱셈 기호로 바꿀 수 있습니다. 평등은 그대로 유지됩니다.
등등.
아시다시피, a와 b가 정수이고 b ≠ 0인 분수 a/b에 대해 다음과 같이 말합니다. 유리수. 그러나 폴란드어로만 그들은 스스로를 그렇게 부릅니다. 그들은 영어, 프랑스어, 독일어 및 러시아어를 구사합니다. 유리수. 영어로: 유리수. 무리수 비합리적이야, 비합리적이야. 우리는 또한 비합리적인 이론, 아이디어 및 행동에 대해 폴란드어를 사용합니다. 이것은 광기, 상상, 설명 할 수 없습니다. 여자들은 쥐를 무서워한다고 하는데, 너무 비합리적이지 않나요?
고대에는 숫자에 영혼이 있었습니다. 각각은 무언가를 의미했고, 각각은 무언가를 상징했으며, 각각은 우주의 조화, 즉 그리스어로 코스모스의 입자를 반영했습니다. "코스모스"라는 단어는 정확히 "질서, 질서"를 의미합니다. 가장 중요한 것은 1(완전한 숫자)과 2으로, 연속된 숫자 3+4+XNUMX+XNUMX의 합으로 오늘날까지 그 상징성이 남아 있는 다른 숫자로 구성되었습니다. 그래서 피타고라스는 숫자가 모든 것의 시작이자 근원이며 오직 발견일 뿐이라고 가르쳤습니다. 무리수 피타고라스 운동을 기하학으로 돌렸습니다. 우리는 학교에서 그 추론을 알고 있습니다.
√2는 무리수
가 있고 이 비율을 줄일 수 없다고 가정하십시오. 특히 p와 q는 모두 홀수입니다. 제곱하자: 2q2=p2. 숫자 p는 홀수가 될 수 없습니다.2 이고 등식의 왼쪽은 2의 배수입니다. 따라서 p는 짝수입니다. 즉, p = 2r이므로 p입니다.2= 4년2. 방정식 2q를 줄입니다.2= 4년2 2. 우리는 q를 얻습니다.2= 2년2 그리고 우리는 q도 짝수여야 한다는 것을 봅니다. 우리는 그렇지 않다고 가정했습니다. 그 결과 모순이 증명을 완성한다 - 이 공식은 모든 수학 책에서 흔히 볼 수 있습니다. 이 정황 증명은 궤변가들이 가장 좋아하는 속임수입니다.
이 광대함은 피타고라스 학파가 이해할 수 없었습니다. 모든 것은 숫자로 설명할 수 있어야 하고, 누구나 모래 위에 막대기로 그릴 수 있는 사각형의 대각선은 길이가 없습니다. “우리의 믿음은 헛된 것이었습니다.”라고 피타고라스 학파는 말하는 것 같습니다. 어때? 이건 좀... 비합리적이야. 연합은 종파적 방법으로 스스로를 구하려고 노력했습니다. 감히 자신의 존재를 밝히는 자 무리수, 사형에 처해졌고 분명히 첫 번째 문장은 주인이 직접 집행했습니다.
그러나 "생각은 상처를 입지 않았습니다." 황금 시대가 도래했습니다. 그리스인은 페르시아인을 물리쳤습니다(마라톤 490, 블록 479). 민주주의가 강화되고 철학적 사고의 새로운 중심과 새로운 학교가 생겨났습니다. 피타고라스 학파는 여전히 무리수를 가지고 씨름하고 있었습니다. 어떤 이들은 설교했습니다. 우리는 이 비밀을 이해하지 못할 것입니다. 우리는 Uncharted에서만 생각하고 감탄할 수 있습니다. 후자는 더 실용적이었고 신비를 존중하지 않았습니다. 그 당시 무리수를 이해할 수 있게 해주는 두 가지 정신적 구조가 나타났습니다. 오늘날 우리가 그것들을 아주 잘 이해하고 있다는 사실은 에우독소스(기원전 XNUMX세기)에 속하며, 독일 수학자 리하르트 데데킨트가 에우독소스 이론에 엄격한 요구 사항에 따라 적절한 발전을 준 것은 XNUMX세기 말이었습니다. 수학적 논리.
대량의 인물 또는 고문
숫자 없이 살 수 있습니까? 인생이 어떻든... 우리는 이전에 발의 길이를 측정했던 막대기로 신발을 사러 가게에 가야 할 것입니다. "사과를 원합니다. 아, 여기 있습니다!" – 우리는 시장에서 판매자를 보여줄 것입니다. "Modlin에서 Nowy Dwur Mazowiecki까지 얼마나 떨어져 있습니까?" "꽤 가까워!"
숫자는 측정하는 데 사용됩니다. 그들의 도움으로 우리는 또한 다른 많은 개념을 표현합니다. 예를 들어, 지도의 축척은 해당 국가의 면적이 얼마나 감소했는지 보여줍니다. 2:XNUMX 척도 또는 간단히 XNUMX는 크기가 두 배가 되었다는 사실을 나타냅니다. 수학적으로 말해봅시다: 각 동질성은 숫자, 즉 규모에 해당합니다.
할 일. 이미지를 여러 번 확대하여 제로그래픽 사본을 만들었습니다. 그런 다음 확대된 조각이 다시 b배로 확대되었습니다. 일반적인 배율 척도는 무엇입니까? 답: a × b 곱하기 b. 이러한 저울을 곱해야 합니다. "마이너스 1" 숫자인 -180은 중앙에 있는, 즉 90도 회전된 하나의 정밀도에 해당합니다. 1도 회전에 해당하는 숫자는 무엇입니까? 그런 번호가 없습니다. 그것은, 그것은… 또는 오히려 곧 될 것입니다. 도덕적 고문을 당할 준비가 되셨습니까? 용기를 내어 마이너스 XNUMX의 제곱근을 취하십시오. 나는 ~을 듣고있다? 당신은 무엇을 할 수 없습니까? 결국, 나는 당신에게 용기를 내라고 말했습니다. 잡아 당깁니다! 이봐, 음, 당겨, 당겨... 내가 도와줄게... Here: -XNUMX 이제 얻었으니 사용해 봅시다... 물론, 이제 우리는 모든 음수의 근을 추출할 수 있습니다. 예.:
√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1
"그것이 수반하는 정신적 고통에 관계없이." 이것은 Girolamo Cardano가 1539년에 쓴 것입니다. 허수. 그는 이것들을 고려했다...
...할 일. 10을 두 부분으로 나누면 40이 됩니다. 이전 에피소드에서 그가 다음과 같이 쓴 것을 기억합니다. 확실히 불가능합니다. 그러나 이렇게합시다 : 10을 각각 5와 같은 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 곱하면 25가됩니다. 결과 25에서 원하는 경우 이제 40을 빼면 -15가됩니다. 이제 보세요: 15에서 √-5를 더하고 빼면 40이 됩니다. 이것은 숫자 5-√-15와 5 + √-15입니다. 결과 검증은 다음과 같이 Cardano에 의해 수행되었습니다.
“그것이 수반하는 상심에 관계없이 5 + √-15에 5-√-15를 곱하십시오. 우리는 25 - (-15)를 얻습니다. 이는 25 + 15와 같습니다. 따라서 제품은 40입니다 .... 정말 어렵다."
(1 + √-1) (1-√-1)은 얼마입니까? 곱하자. √-1 × √-1 = -1임을 기억하십시오. 엄청난. 이제 더 어려운 작업: a + b√-1에서 ab√-1로. 무슨 일이에요? 당연히 다음과 같습니다: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
이것에 대해 흥미로운 점은 무엇입니까? 예를 들어, "이전에 알지 못했던" 표현식을 분해할 수 있다는 사실입니다. 약식 곱셈 공식2-b2 에 대한 공식을 기억하십니까?2+b2 그럴 리가 없었으니까. 실수 영역에서 다항식2+b2 그것은 피할 수 없습니다. 문자 i로 "마이너스 XNUMX"의 "우리" 제곱근을 나타내자.2= -1. 그것은 "비현실적인" 소수입니다. 그리고 그것은 비행기의 90도 회전을 설명하는 것입니다. 왜? 결국,2= -1이고 하나의 90도 회전과 다른 180도 회전을 결합하면 45도 회전이 됩니다. 어떤 유형의 회전이 설명되고 있습니까? 분명히 XNUMX도 회전입니다. -i는 무엇을 의미합니까? 조금 더 복잡합니다.
(-나)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
그래서 -i는 또한 i의 회전 방향과 반대 방향으로 90도 회전하는 것을 나타냅니다. 어느 것이 왼쪽이고 어느 것이 오른쪽입니까? 예약을 하셔야 합니다. 우리는 숫자 i가 수학자들이 긍정적이라고 생각하는 방향인 시계 반대 방향으로의 회전을 지정한다고 가정합니다. 숫자 -i는 포인터가 움직이는 방향의 회전을 나타냅니다.
그러나 i 및 -i와 같은 숫자가 존재합니까? 이다! 우리는 그것들에 생명을 불어넣었습니다. 나는 ~을 듣고있다? 그것들은 우리 머리 속에만 존재한다고요? 무엇을 기대해야 할까요? 다른 모든 숫자도 우리 마음 속에만 존재합니다. 새로 태어난 숫자가 살아남는지 확인해야 합니다. 보다 정확하게는 디자인이 논리적인지, 어떤 용도로 유용할지 여부입니다. 모든 것이 순조롭게 진행되고 있으며 이 새로운 수치가 정말 도움이 된다는 제 말을 믿어주세요. 3+i, 5-7i, 더 일반적으로는 a+bi와 같은 숫자를 복소수라고 합니다. 비행기를 돌려 얻는 방법을 보여 드렸습니다. 그것들은 다른 방식으로 입력될 수 있습니다: 평면의 점, 일부 다항식, 일종의 숫자 배열 등 ... 그리고 매번 동일합니다: 방정식 x2 +1=0 요소가 없습니다... hocus pocus가 이미 있습니다!!!! 기뻐하고 기뻐하자!!!
투어 종료
이것으로 가짜 숫자의 나라에 대한 첫 번째 여행을 마칩니다. 다른 기괴한 숫자 중에서 나는 뒤에 있지 않고 앞에 무한한 숫자가 있는 숫자도 언급할 것입니다(그것을 10-adic이라고 합니다. p-adic이 더 중요합니다. 여기서 p는 소수입니다). 예 X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
X를 세어 봅시다2. 왜냐하면? 무한한 자릿수가 뒤따르는 숫자의 제곱을 계산하면 어떻게 될까요? 글쎄, 똑같이 해보자. 우리는 x를 알고 있습니다.2 = H.
등식을 만족하는 앞에 무한한 자릿수가 있는 또 다른 숫자를 찾아봅시다. 힌트: 76으로 끝나는 숫자의 제곱은 76으로도 끝납니다. 376으로 끝나는 숫자의 제곱도 376으로 끝납니다. 9376으로 끝나는 숫자의 제곱도 9376으로 끝납니다. XNUMX으로 끝나는 숫자의 제곱도 XNUMX으로 끝납니다. 에 XNUMX ... 너무 작아서 양수이므로 다른 양수보다 작게 유지되는 숫자도 있습니다. 그것들은 너무 작아서 때때로 그것들을 XNUMX으로 만들기 위해 그것들을 제곱하는 것으로 충분합니다. 조건 a × b = b × a를 만족하지 않는 숫자가 있습니다. 무한한 숫자도 있습니다. 얼마나 많은 자연수가 있습니까? 무한히 많습니까? 네, 하지만 얼마죠? 이것을 숫자로 어떻게 표현할까요? 답: 무한수 중에서 가장 작은 것; 아름다운 문자 A로 표시되고 XNUMX 인덱스 A로 보완됩니다.0 , 알레프 제로.
우리가 존재하는지 모르는 숫자도 있습니다. 또는 원하는 대로 믿거나 믿지 않을 수 있습니다. 그리고 비슷한 이야기를 하자면: Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers가 여전히 마음에 드셨으면 합니다.
