XNUMX으로 나누지 않는 이유는 무엇입니까?
독자들은 내가 왜 그렇게 진부한 문제에 전체 기사를 바치는지 궁금해 할 것입니다. 그 이유는 무심코 이름을 걸고 작전을 수행하는 학생들(!)이 엄청나게 많기 때문이다. 그리고 학생뿐만이 아닙니다. 때로는 나는 선생님을 잡습니다. 그러한 교사의 학생들은 수학에서 무엇을 할 수 있을까요? 이 글을 쓴 직접적인 이유는 XNUMX으로 나누는 것이 문제가 되지 않았던 교사와의 대화였습니다.
XNUMX이 있으면 그렇습니다. 번거로움이 전혀 없다는 점을 제외하면 일상생활에서 실제로 사용할 필요가 없기 때문입니다. 우리는 계란을 사러 쇼핑하러 가지 않습니다. “방에 사람이 한 명 있다”는 것은 어쩐지 자연스러워 들리고, “사람이 없다”는 것은 인위적으로 들린다. 언어학자들은 XNUMX이 언어 체계 외부에 있다고 말합니다.
우리는 은행 계좌에서 XNUMX 없이도 할 수 있습니다. 온도계에서와 같이 양수 및 음수 값에 빨간색과 파란색을 사용하십시오 (온도의 경우 양수에 빨간색을 사용하는 것이 자연스럽고 은행 계좌의 경우 직불카드는 경고를 트리거해야 하므로 빨간색을 적극 권장합니다.
XNUMX을 자연수로 포함함으로써 미분 문제를 다룹니다. 기수 od 가정. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …
숫자의 거듭제곱은 그것이 서있는 곳의 숫자와 같습니다. 그렇지 않으면 이미 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ..... 순서에 있습니다.
싱글톤 집합의 수는 두 번째로, 요소가 두 개인 집합의 수는 세 번째로 오는 식입니다. 예를 들어 우리는 처음부터 대회에서 선수들의 자리에 번호를 매기지 않는 이유를 설명해야 합니다. 그런 다음 XNUMX등 우승자는 은메달을 받게 됩니다(금은 XNUMX등 우승자에게 돌아갔습니다). 축구에서도 다소 유사한 절차가 사용되었습니다. 독자들이 "리그 XNUMX"이 " 최고를 따르라." ’, 제로리그를 ‘메이저리그’로 부른다.
IT 담당자에게 편리하기 때문에 처음부터 시작해야 한다는 주장을 가끔 듣습니다. 이러한 고려 사항을 계속하면서 킬로미터의 정의를 변경해야 합니다. 1024m여야 합니다. 이것은 1000킬로바이트의 바이트 수이기 때문입니다(컴퓨터 과학자에게 알려진 농담: "신입생과 신입생의 차이점은 무엇입니까? 컴퓨터 과학 학생이자이 학부의 1024 학년 학생? XNUMX 킬로바이트는 XNUMX 킬로바이트이고 마지막은 XNUMX 킬로미터가 XNUMX 미터입니다.")!
이미 심각하게 고려해야 할 또 다른 관점은 이것이다: 우리는 항상 처음부터 측정합니다! 자, 가정용 저울, 심지어 시계의 모든 저울을 보는 것으로 충분합니다. XNUMX부터 측정하고 계산은 무차원 단위를 사용한 측정으로 이해될 수 있으므로 XNUMX부터 계산해야 합니다.
간단한 문제입니다만...
일반적인 추론을 떠나 1으로 나누기로 돌아갑시다. 문제는 간단하고 그것이 아니었다면 간단 할 것입니다 ... 그래서 뭐? 생각하고 시도합시다. 0을 XNUMX으로 나눈 값은 얼마입니까? 보자: XNUMX/XNUMX = x. 양변에 좌변의 분모를 곱합니다.
우리는 1=0을 얻습니다. 뭔가 문제가 있는 걸까요? 무슨 일이 일어났나요? 아 추측해! XNUMX과 XNUMX의 몫이 있다는 가정은 모순으로 이어집니다. 그리고 하나를 XNUMX으로 나눌 수 없다면 다른 숫자도 나눌 수 있습니다. 독자 여러분, 어깨를 으쓱하고 작가 (즉, 나)가 왜 그런 진부한 내용에 대해 글을 쓰는지 궁금하다면 ... 매우 기쁩니다!
0/0 = 0이라는 공식은 완고하게 옹호될 수 있지만 숫자를 그 자체로 나눈 결과는 0과 같다는 규칙에 위배됩니다. 물론이지만 미적분학에서 0/XNUMX, °/° 등과 같은 기호는 상당히 다릅니다. 이는 숫자를 의미하지 않지만 특정 유형의 특정 시퀀스에 대한 상징적 지정입니다.
전기 공학 서적에서 흥미로운 비교를 발견했습니다. XNUMX으로 나누는 것은 고전압 전기만큼 위험합니다. 이것은 정상입니다. 옴의 법칙에 따르면 전압 대 저항의 비율은 전류와 같습니다: V = U / R. 저항이 XNUMX이면 이론적으로 무한한 전류가 도체를 통해 흐르고 가능한 모든 도체를 태울 것입니다.
나는 한 주의 매일을 XNUMX으로 나누는 것의 위험성에 관해 시를 쓴 적이 있습니다. 가장 극적인 날은 목요일이었던 것으로 기억하는데, 이 분야에서 제가 한 모든 일이 안타깝습니다.
어떤 것을 XNUMX으로 나눌 때
아주 이른 월요일
방금 무슨 일이 있었는지 일주일
당신은 이미 비참하게 실패했습니다.
화요일 오후되면
분모에 XNUMX을 넣으면
그럼 말해줄게, 넌 틀렸어
나쁜 수학자!
제로를 통해, 변태를 통해,
수요일에 헤어지고 싶어
당신은 많은 어려움을 겪게 될 것입니다.
머리 속에 건초와 물이 들어있어요!
어떤 Bartek이 우리와 함께있었습니다.
그는 규칙을 어겼습니다.
목요일에는 XNUMX으로 나눌 수 있습니다.
그는 더 이상 우리 사이에 없습니다!
이상한 욕망이 당신을 사로잡는다면
금요일에 XNUMX으로 나누기
솔직하게 말할게요, 솔직하게 말할게요:
이번 주말의 시작이 좋지 않았습니다.
XNUMX일 때 토요일 어딘가
구분선은 귀하의 것입니다 (굵게 표시되지 않음)
교회 울타리 아래에 무릎을 꿇으십시오.
이것이 당신의 부활입니다.
대시 아래에 XNUMX을 원하십니까?
일요일에 휴일을 만들어라
분필, 블랙보드를 가져오세요.
쓰세요: XNUMX으로 나눌 수 없습니다!
0은 공허함, 무(無)와 관련이 있습니다. 실제로 그는 어떤 것에 더해도 변하지 않는 양인 x + XNUMX = x로 수학에 왔습니다. 그러나 이제 XNUMX은 여러 다른 값에 나타납니다. 특히 다음과 같습니다. 스케일 시작. 창 밖에 양의 온도도 서리도 없으면 ... 이것은 XNUMX이며 온도가 전혀 없다는 의미는 아닙니다. 제로 등급 기념물은 오랫동안 철거되어 단순히 존재하지 않는 기념물이 아닙니다. 오히려 그것은 바벨, 에펠탑, 자유의 여신상과 같은 것입니다.
음, 위치 시스템에서 XNUMX의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 독자 여러분, 빌 게이츠의 은행 계좌에 XNUMX이 몇 개나 있는지 아시나요? 잘 모르겠는데 반만 주세요. 분명히 나폴레옹 보나파르트는 사람들이 XNUMX과 같다는 것을 알아차렸습니다. 그들은 위치를 통해 의미를 얻습니다. Andrzej Wajda의 영화 As the Years, As the Days Go by에서 열정적인 예술가 Jerzy는 다음과 같이 폭발합니다. "필리스틴은 XNUMX, 무, 무, 무, 무, XNUMX입니다." 하지만 XNUMX이 좋을 수도 있습니다. "표준으로부터의 편차가 XNUMX"이라는 것은 모든 것이 잘 진행되고 있으며 계속 유지된다는 의미입니다!
수학으로 돌아가자. XNUMX은 아무런 처벌 없이 더하고, 빼고, 곱할 수 있습니다. Manya는 Anya에게 “체력이 XNUMXkg이 늘었어요.”라고 말합니다. Anya는 "그리고 이것은 흥미롭습니다. 왜냐하면 저도 똑같은 체중을 감량했기 때문입니다."라고 대답합니다. 그러니 아이스크림 XNUMX인분을 여섯 번 먹자. 그래도 우리에게 해를 끼치지는 않을 것이다.
XNUMX으로 나눌 수는 없지만 XNUMX으로 나눌 수는 있습니다. 만두 제로 한 접시는 음식을 기다리는 사람들에게 쉽게 나눠줄 수 있다. 각각 얼마를 받게 되나요?
XNUMX은 양수도 아니고 음수도 아닙니다. 이것과 숫자 비양성и 음수가 아닌. 이는 부등식 x≥0 및 x≤0을 충족합니다. 모순 "긍정적인 것"은 "부정적인 것"이 아니라 "부정적인 것 또는 0과 같은 것"입니다. 수학자들은 언어의 규칙에 반하여 항상 어떤 것이 "1"이 아니라 "1534267과 같다"고 말할 것입니다. 이 관행을 정당화하기 위해 다음과 같이 합니다. x = 0 "x는 XNUMX입니다"라는 공식을 읽으면 x = XNUMX은 "x는 XNUMX과 같습니다"라고 읽습니다. 이는 삼킬 수 있지만 "x = XNUMX"은 어떻습니까? 또한 문자 XNUMX에 숫자 값을 할당할 수 없습니다.0XNUMX을 음의 거듭제곱으로 올리지도 않습니다. 반면에 마음대로 XNUMX을 근절할 수 있으며 결과는 항상 XNUMX입니다.
지수 함수 y = ax, a의 양의 밑수는 결코 0이 되지 않습니다. 따라서 XNUMX 로그가 없습니다. 실제로, 밑수 b에 대한 a의 로그는 a의 로그를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 지수입니다. a = XNUMX의 경우 그러한 표시가 없으며 XNUMX은 로그의 밑이 될 수 없습니다. 그러나 뉴턴 기호의 "분모"에 있는 XNUMX은 다른 것입니다. 우리는 이러한 관례가 모순을 초래하지 않는다고 가정합니다.
거짓 증거
XNUMX으로 나누는 것은 허위 증명의 일반적인 주제이며 숙련된 수학자에게도 발생합니다. 제가 가장 좋아하는 두 가지 예를 들어보겠습니다. 첫 번째는 대수학입니다. 나는 모든 숫자가 동일하다는 것을 "증명"할 것입니다. 같지 않은 두 개의 숫자가 있다고 가정합니다. 그러므로 그 중 하나가 다른 것보다 크다면 a > b라고 하자. c가 그들의 차이라고 가정하자
c \uXNUMXd a-b. 그래서 우리는 a - b = c이고, 여기서 a = b + c입니다.
후자의 두 부분에 a-b를 곱합니다.
a2 – ab = ab + ac – b2 – 기원전.
나는 ak를 왼쪽으로 번역합니다. 물론 기호 변경에 대해 기억합니다.
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
공통 요소를 제외합니다.
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
나는 공유하고 내가 원하는 것을 얻었습니다.
a = b.
그리고 실제로 더 이상한 것은, 제가 a > b라고 가정하고 a = b라는 것을 얻었기 때문입니다. 위의 예에서 "부정행위"가 쉽게 인식된다면, 아래의 기하학적 증명에서는 그렇게 쉽지 않습니다. 나는 ... 사다리꼴이 존재하지 않는다는 것을 증명할 것입니다. 흔히 사다리꼴이라고 불리는 도형은 존재하지 않습니다.
그러나 먼저 사다리꼴(아래 그림의 ABCD)과 같은 것이 있다고 가정해 보십시오. 두 개의 평행한 측면("베이스")이 있습니다. 그림과 같이 이 밑변을 늘려 평행사변형을 얻습니다. 대각선은 사다리꼴의 다른 대각선을 다음과 같이 길이가 x, y, z로 표시되는 세그먼트로 나눕니다. 그림 1. 해당 삼각형의 유사성으로부터 비율을 얻습니다.
여기서 우리는 다음을 정의합니다:
오라즈
여기서 우리는 다음을 정의합니다:
별표로 표시된 평등 측면을 뺍니다.
양쪽 변을 x − z로 줄이면 – a/b = 1이 됩니다. 즉, a + b = 0입니다. 그러나 숫자 a, b는 사다리꼴 밑면의 길이입니다. 합이 XNUMX이면 역시 XNUMX입니다. 이것은 사다리꼴과 같은 도형이 존재할 수 없다는 것을 의미합니다! 그리고 직사각형, 마름모 및 정사각형도 사다리꼴이기 때문에 친애하는 독자 여러분, 마름모, 직사각형 및 정사각형도 없습니다 ...
그렇게
정보 공유는 네 가지 기본 활동 중 가장 흥미롭고 어려운 활동입니다. 여기서 처음으로 우리는 성인기에 흔히 볼 수 있는 현상을 접하게 됩니다. "답을 추측한 다음, 추측한 것이 맞는지 확인하세요." 이것은 Daniel K. Dennett(“How to Make Mistakes?”, in How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997)에 의해 매우 적절하게 표현되었습니다.
이 "추측" 방법은 우리의 성인 생활을 방해하지 않습니다. 아마도 우리가 일찍 배우고 추측하는 것이 어렵지 않기 때문일 것입니다. 예를 들어 수학적(완전한) 귀납법에서도 이념적으로 동일한 현상이 발생합니다. 같은 곳에서 우리는 공식을 '추측'한 다음 우리의 추측이 맞는지 확인합니다. 학생들은 항상 이렇게 묻습니다. “우리는 패턴을 어떻게 알았나요? 어떻게 꺼낼 수 있나요?" 학생들이 나에게 이 질문을 하면 나는 그들의 질문을 농담으로 바꾸었습니다. "나는 전문가이기 때문에 이것을 알고 있습니다. 왜냐하면 나는 돈을 받았기 때문입니다." 학교의 학생들도 같은 스타일로, 더 진지하게 대답할 수 있습니다.
운동. 가장 낮은 단위로 덧셈과 곱셈을 시작하고, 가장 높은 단위로 나눗셈을 시작한다는 점에 유의하세요.
두 가지 아이디어의 결합
수학 교사들은 우리가 성인 분리라고 부르는 것은 개념적으로 다른 두 가지 아이디어의 결합이라고 항상 지적해 왔습니다. Корпус i 분리.
첫번째 (Корпус)는 원형이 다음과 같은 작업에서 발생합니다.
나누기 나누기 다음과 같은 작업이 있습니다.
? (우리는 1892년 크라쿠프에서 출판된 Julian Zgozalewicz의 핸드북에서 가져온 이 문제의 원래 스타일을 유지합니다.
이제 두 가지 문제를 고려하십시오. 폴란드어로 된 가장 오래된 수학 교과서, 아버지 Tomasz Clos (1538). 디비전인가, 쿠페인가? XNUMX 세기 학생들이해야 할 방식으로 문제를 해결하십시오.
(폴란드어 번역: 배럴에는 쿼트와 20개의 냄비가 있습니다. 냄비는 50쿼트입니다. 누군가 무역을 위해 8zł에 와인 8개를 구입했습니다. 관세 및 세금(소비세?)은 XNUMXzł입니다. 쿼트를 팔면 XNUMX즈워티를 벌 수 있나요?)
스포츠, 물리학, 합동
스포츠에서는 때때로 무언가를 XNUMX(목표 비율)으로 나누어야 합니다. 글쎄요, 판사들이 어떻게든 처리하죠. 그러나 추상 대수학에서는 그것들이 의제에 포함됩니다. XNUMX이 아닌 수량그의 제곱은 XNUMX입니다. 간단하게 설명할 수도 있습니다.
점 (y, 0)을 평면 (x, y)의 점과 연관시키는 함수 F를 고려하십시오. F는 무엇입니까?2즉, F? 제로 기능 - 각 포인트에는 이미지(0,0)가 있습니다.
마지막으로, 제곱이 0인 0이 아닌 양은 물리학자들에게 거의 일용할 양식이며, a + bε 형식의 숫자입니다. 여기서 ε ≠ XNUMX이지만 ε2 = 0, 수학자들은 전화 이중 숫자. 이는 수학적 분석과 미분 기하학에서 발생합니다.
결국, 산수에는 이름만이라도 XNUMX으로 나누는 것이 있습니다. 그것은에서 온다 적합성. Z는 정수 집합을 나타냅니다. 집합 Z를 p로 나누는 것은 각 숫자(정수)를 다른 숫자, 즉 차이를 나눌 수 있는 숫자와 동일시한다는 의미입니다. 따라서 숫자 0, 1, 2, 3, 4에 해당하는 5가지 유형의 숫자가 있을 때 - XNUMX로 나눌 때 가능한 나머지입니다. 수식은 다음과 같이 작성됩니다.
mod 차이가 배수인 경우.
= 2의 경우 0과 1이라는 두 개의 숫자만 있습니다. 정수를 두 클래스로 나누는 것은 짝수와 홀수로 나누는 것과 같습니다. 이제 교체해 보겠습니다. 차이는 항상 1로 나누어집니다(모든 정수는 1로 나누어집니다). =0을 취하는 것이 가능합니까? 시도해 봅시다. 두 숫자의 차이가 언제 XNUMX의 배수가 됩니까? 이 두 숫자가 동일한 경우에만 가능합니다. 따라서 정수 집합을 XNUMX으로 나누는 것은 의미가 있지만 흥미롭지는 않습니다. 아무 일도 일어나지 않습니다. 그러나 이는 초등학교 때부터 알고 있던 의미의 숫자 나누기가 아니라는 점을 강조해야 한다.
그러한 행위는 길고 광범위한 수학뿐만 아니라 단순히 금지되어 있습니다.
쌀. 2. 비교를 이용한 숫자 식별
(트리 5 및 트리 2)
