코로나 바이러스 및 수학 교육 – 부분 위탁 컬렉션
우리를 강타한 바이러스는 급속한 교육 개혁을 주도하고 있습니다. 특히 고등 교육 수준에서. 이 주제에 대해 더 긴 에세이를 작성할 수 있으며 원격 학습 방법론에 대한 박사 학위 논문의 흐름이 확실히 있을 것입니다. 어떤 관점에서 이것은 뿌리로의 회귀이자 잊혀진 독학 습관으로의 회귀입니다. 예를 들어 Kremenets 중등 학교 (1805-31 년에 존재했으며 1914 년까지 식생했으며 1922-1939 년에 전성기를 경험 한 현재 우크라이나의 Kremenets에 있음)에있었습니다. 학생들은 그곳에서 스스로 공부했습니다. 배운 후에야 교사가 수정, 최종 설명, 어려운 곳에서 도움 등을 받았습니다. e. 내가 학생이 되었을 때, 그들은 또한 우리가 스스로 지식을 습득해야 하고, 수업을 주문하고 대학에 보내는 것이라고 말했습니다. 하지만 그 당시에는 이론에 불과했습니다...
2020년 봄, 많은 작업을 수행하면서 원격(Google Meet, Microsoft Teams 등)으로 수업(강의, 연습 등 포함)을 매우 효과적으로 진행할 수 있다는 사실을 발견한 사람은 저뿐만이 아닙니다. 반면에 교사는 "교육을 받으십시오"라는 욕구를 가지고 있습니다. 하지만 약간의 편안함도 있습니다. 저는 집에서, 안락의자에 앉아 있고, 전통적인 강의에서 학생들은 종종 다른 일을 했습니다. 그러한 훈련의 효과는 중세 시대로 거슬러 올라가는 전통적인 수업 시스템보다 훨씬 더 나을 수 있습니다. 바이러스가 지옥으로 갈 때 그에게 무엇이 남을까요? 제 생각엔… 꽤 많이요. 그러나 우리는 보게 될 것입니다.
오늘은 부분적으로 정렬된 집합에 대해 이야기하겠습니다. 간단 해. 비어 있지 않은 집합 X의 이진 관계가 존재하는 경우 부분 순서 관계라고 합니다.
(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, 철학자,
1957~1962년 폴란드 과학아카데미 회장).
- 재귀적, 즉 각 ∈에 대해 ",
- 통행인, 즉 ", 그리고 "이면 ",
- 반 비대칭, 즉 ("∧")→ =
문자열은 다음 속성을 가진 집합입니다. 임의의 두 요소에 대해 이 집합은 "또는 y"입니다. 안티체인은...
그만, 그만! 이것을 이해할 수 있습니까? 당연하지. 그러나 독자 중 (다른 것을 알고 있는) 이미 여기에 있는 내용을 이해한 사람이 있습니까?
생각하지마! 그리고 이것은 수학 교육의 정경입니다. 학교에서도. 첫째, 품위 있고 엄격한 정의, 그리고 지루함으로 잠들지 않은 사람들은 분명히 무언가를 이해할 것입니다. 이 방법은 "위대한"수학 교사에 의해 부과되었습니다. 그는 신중하고 엄격해야 합니다. 결국은 이렇게 되어야 하는 것이 사실입니다. 수학은 정확한 과학이어야 합니다(또한보십시오: ).
저는 바르샤바 대학에서 은퇴한 후 근무하는 대학에서 수년간 가르쳤음을 고백하지 않을 수 없습니다. 그 안에는 악명 높은 찬물 양동이가있었습니다 (그대로 두십시오 : 양동이가 필요했습니다!). 갑자기 높은 추상화가 가볍고 유쾌해졌습니다. 주의를 기울이십시오. 쉽다는 것이 쉽다는 의미는 아닙니다. 라이트 복서도 힘든 시간을 보냅니다.
추억에 미소짓습니다. 나는 미국에서 장기 체류를 마치고 막 도착한 일류 수학자였던 당시 학과장에게 수학의 기초를 배웠는데 그 당시에는 그 자체로 놀라운 일이었습니다. 나는 그녀가 폴란드어를 조금 잊었을 때 그녀가 약간 속물 같다고 생각합니다. 그녀는 오래된 폴란드어 "what", "therefore", "azalea"를 남용하여 "반 비대칭 관계"라는 용어를 만들었습니다. 나는 그것을 사용하는 것을 좋아합니다. 정말 정확합니다. 좋아요. 그러나 나는 이것을 학생들에게 요구하지 않습니다. 이것은 일반적으로 "낮은 반 대칭"이라고합니다. 열 가지 아름다운 것.
오래 전, (지난 세기의) XNUMX년대에 수학 교육에 대한 위대하고 즐거운 개혁이 있었기 때문입니다. 이것은 우리 나라를 세계에 개방하는 Eduard Gierek 통치의 짧은 기간의 시작과 일치했습니다. "아이들도 고등 수학을 배울 수 있습니다. "라고 Great Teachers는 외쳤습니다. 어린이를 위해 대학 강의 "수학의 기초"를 요약했습니다. 이것은 폴란드뿐만 아니라 유럽 전역의 추세였습니다. 방정식을 푸는 것만으로는 충분하지 않았고 모든 세부 사항을 설명해야 했습니다. 근거가 없는 일이 없도록 각 독자는 방정식 시스템을 풀 수 있습니다.
그러나 학생들은 각 단계를 정당화하고 관련 진술 등을 참조해야 했습니다. 이것은 내용에 대한 형식의 전형적인 과잉이었습니다. 지금은 비판하기가 쉽습니다. 나도 한때는 이 접근법의 지지자였다. 흥미진진합니다... 수학에 열정을 가진 젊은이들에게는요. 물론 이것은 (그리고 관심을 끌기 위해 나)였습니다.
그러나 서정적 여담은 그만하고 본론으로 들어가 봅시다. 폴리테크닉 XNUMX학년을 대상으로 한 "이론적으로" 강의는 그녀가 아니었다면 코코넛 플레이크처럼 건조했을 것입니다. 제가 좀 과장해서...
좋은 아침입니다. 오늘의 주제는 부분 청소입니다. 아니요, 이것은 부주의한 청소의 힌트가 아닙니다. 가장 좋은 비교는 토마토 수프와 크림 케이크 중 어느 것이 더 나은지 고려하는 것입니다. 대답은 분명합니다. 무엇에 따라 다릅니다. 디저트 - 쿠키 및 영양가있는 요리 : 수프.
수학에서는 숫자를 다룹니다. 그들은 순서가 있습니다 : 그들은 더 크고 작지 만 두 개의 다른 숫자 중 하나는 항상 작습니다. 이는 다른 하나가 더 크다는 것을 의미합니다. 알파벳의 글자처럼 순서대로 배열되어 있습니다. 수업 일지에서 순서는 다음과 같습니다. Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (그들은 우리 반의 친구이자 급우입니다!). 우리는 또한 Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. "이중 불평등"의 기호는 "이전"을 의미합니다.
내 여행 클럽에서는 목록을 알파벳순으로 만들려고 노력하지만 예를 들어 Alina Wronska "Warbara Kaczarska", Cesar Bouschitz 등의 이름으로 나열합니다. 공식 기록에서는 순서가 반대입니다. 수학자들은 알파벳순을 사전식(어휘집은 사전과 거의 비슷함)이라고 부릅니다. 다른 한편으로, 두 부분(Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky)으로 구성된 이름에서 두 번째 부분을 먼저 살펴보는 이러한 순서는 수학자에게 반사전식 순서입니다. 긴 제목이지만 내용은 매우 간단합니다.
1. 선형 순서: 1899년에 건설된 Podhale에서 출발하는 Habovka-Zakopane 철도의 역과 정류장(약어의 해독은 독자에게 맡깁니다).
이러한 모든 주문을 라인 주문이라고 합니다. 우리는 차례로 주문합니다 : 첫 번째, 두 번째, 세 번째. 첫 지점부터 마지막 지점까지 모든 것이 정돈되어 있습니다. 항상 말이 되는 것은 아닙니다. 결국 우리는 도서관에 책을 이렇게 정리하지 않고 섹션별로 정리합니다. 부서 내에서만 선형으로 정렬합니다(보통 알파벳순).
2. 선형 순서: 자동차 엔진을 시작할 때 일관된 순서로 작업을 수행합니다.
더 큰 프로젝트, 특히 팀 작업에서는 더 이상 선형 순서가 없습니다. 살펴보자 무화과. 3. 우리는 작은 호텔을 짓고 싶습니다. 이미 돈이 있습니다(셀 0). 허가서를 작성하고 자재를 수집하고 공사를 시작하는 동시에 광고 캠페인을 실시하고 직원을 찾는 등의 작업을 수행합니다. "10"에 도달하면 첫 번째 손님이 체크인할 수 있습니다(Dombrowski 씨와 크라쿠프 교외에 있는 그들의 작은 호텔 이야기의 예). 우리는 비선형 순서 – 일부 작업은 병렬로 발생할 수 있습니다.
경제학에서는 임계 경로의 개념에 대해 배웁니다. 이것은 순차적으로 수행되어야 하는 일련의 작업이며(그리고 이것은 수학에서 체인이라고 하며, 잠시 후에 자세히 설명합니다) 가장 많은 시간이 걸립니다. 건설 시간 단축은 임계 경로의 재구성입니다. 그러나 다른 강의에서 이것에 대해 더 자세히 설명합니다 ( "대학 강의"를 읽고 있음을 상기시켜줍니다). 우리는 수학에 집중합니다.
그림 3과 같은 다이어그램을 Hasse 다이어그램이라고 합니다(Helmut Hasse, 독일 수학자, 1898–1979). 모든 복잡한 노력은 이런 방식으로 계획되어야 합니다. 우리는 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10의 일련의 동작을 봅니다. 수학자들은 그것들을 문자열이라고 부릅니다. 전체 아이디어는 네 개의 체인으로 구성됩니다. 대조적으로 활동 그룹 1-2-3-4, 5-6-7 및 8-9는 안티체인입니다. 이름은 다음과 같습니다. 사실은 특정 그룹에서 어떤 작업도 이전 그룹에 의존하지 않는다는 것입니다.
4. 이것도 Hasse 다이어그램입니다.
가자. 그림 4. 무엇이 인상적입니까? 하지만 어떤 도시에서는 지하철 노선도가 될 수도 있습니다! 지하 철도는 항상 노선으로 그룹화되어 있습니다. 한 노선에서 다른 노선으로 지나가지 않습니다. 선은 별도의 선입니다. 도의 도시에서 4는 오븐 라인(기억 오븐 그것은 "boldem"이라고 쓰여 있습니다-폴란드어로는 semi-thick이라고합니다).
이 다이어그램(그림 4)에는 짧은 노란색 ABF, XNUMX개 스테이션 ACFPS, 녹색 ADGL, 파란색 DGMRT 및 가장 긴 빨간색이 있습니다. 수학자는 이렇게 말할 것입니다: 이 Hasse 다이어그램은 오븐 쇠사슬. 레드라인에 있어요 일곱 역: AINRUW. 안티체인은 어떻습니까? 그들이 있다 일곱. 독자는 내가 단어에 이중 밑줄을 그었다는 것을 이미 알아차렸습니다. 일곱.
예기 이것은 환승 없이는 그들 중 한 곳에서 다른 곳으로 갈 수 없는 일련의 역입니다. 조금 "이해"하면 A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR과 같은 안티 체인을 볼 수 있습니다. 예를 들어 BCLTV 스테이션에서 변경 없이 다른 BCTLV로 이동하는 것은 불가능합니다. 더 정확하게는 아래 표시된 스테이션으로 돌아갈 필요가 없습니다. 얼마나 많은 안티체인이 있습니까? 세븐. 가장 큰 것은 어떤 크기입니까? 빵 굽기 (다시 굵게 표시).
학생 여러분, 이러한 숫자의 일치가 우연이 아니라는 것을 상상할 수 있습니다. 이것. 이것은 Robert Palmer Dilworth(1950–1914, 미국 수학자)가 1993년에 발견하고 증명했습니다(즉, 항상 그렇습니다). 전체 세트를 커버하는 데 필요한 행의 수는 가장 큰 안티체인의 크기와 같고 그 반대도 마찬가지입니다. 안티체인의 수는 가장 긴 안티체인의 길이와 같습니다. 이것은 부분적으로 정렬된 집합에서 항상 해당됩니다. 시각화할 수 있는 것. 하세고 다이어그램. 이것은 엄격하고 정확한 정의가 아닙니다. 이것은 수학자들이 "작업 정의"라고 부르는 것입니다. 이것은 "작업 정의"와 다소 다릅니다. 이것은 부분적으로 정렬된 집합을 이해하는 방법에 대한 힌트입니다. 이것은 모든 교육의 중요한 부분입니다. 어떻게 작동하는지 확인하십시오.
영어 약어는 - 이 단어는 엉겅퀴처럼 약간 슬라브어로 아름답게 들립니다. 엉겅퀴도 가지가 있습니다.
아주 좋지만 누가 필요합니까? 친애하는 학생 여러분, 시험에 합격하려면 그것이 필요하며 이것이 아마도 그것을 공부할 충분한 이유가 될 것입니다. 듣고 있는데 어떤 질문이요? 듣고 있어요, 창문 아래에서 신사님. 오, 문제는 이것이 당신의 삶에서 주님께 유용할 것인가 하는 것입니다. 아닐 수도 있지만 당신보다 똑똑한 사람에게는 확실히 ... 복잡한 경제 프로젝트의 임계 경로 분석을 위해?
저는 XNUMX월 중순에 이 글을 쓰고 있는데, 총장 선거가 바르샤바 대학에서 진행되고 있습니다. 인터넷 사용자의 여러 의견을 읽었습니다. "교육받은 사람들"에 대한 증오(또는 "증오")가 놀라울 정도로 많습니다. 어떤 사람은 대학 교육을 받은 사람이 대학 교육을 받은 사람보다 지식이 적다고 직설적으로 썼습니다. 물론 나는 토론에 참여하지 않을 것입니다. 나는 모든 것이 망치와 끌로 할 수 있다는 폴란드 인민 공화국의 확고한 의견이 돌아오고 있다는 것이 슬프다. 수학으로 돌아갑니다.
딜워스의 정리 몇 가지 흥미로운 용도가 있습니다. 그 중 하나는 결혼 정리로 알려져 있습니다.무화과. 6).
여성 그룹(여자보다는)과 약간 더 큰 남성 그룹이 있습니다. 모든 소녀는 다음과 같이 생각합니다. 등등 모두가 자신의 취향을 가지고 있습니다. 우리는 제단 후보로 거부하지 않는 사람의 화살표로 이어지는 다이어그램을 그립니다. Q: 부부가 서로 짝을 지어 각자가 받아들이는 남편을 찾을 수 있습니까?
필립 홀의 정리, 특정 조건 하에서 수행 할 수 있다고 말합니다. 여기서는 논의하지 않겠습니다 (다음 강의에서 학생 여러분, 제발). 그러나 여기에서는 남성의 만족이 전혀 언급되지 않는다는 점에 유의하십시오. 아시다시피 우리에게 보이는 것처럼 우리를 선택하는 것은 여성이지 그 반대가 아닙니다 (나는 작가가 아니라 작가임을 상기시킵니다).
진지한 수학. Hall의 정리는 Dilworth로부터 어떻게 도출됩니까? 매우 간단합니다. 그림 6을 다시 보겠습니다. 체인은 매우 짧습니다. 길이는 2입니다(한 방향으로 실행). 작은 남자 세트는 안티 체인입니다 (정확히 화살표가 향하기 때문에). 따라서 남성 수만큼 안티 체인으로 전체 컬렉션을 덮을 수 있습니다. 따라서 모든 여성에게는 화살이 있습니다. 그리고 그것은 그녀가 그녀가 받아들이는 남자처럼 보일 수 있다는 것을 의미합니다!!!
잠깐, 누군가 묻습니다. 그게 다인가요? 전부 앱인가요? 호르몬은 어떻게 든 잘 지낼 것이며 왜 수학입니까? 첫째, 이것은 전체 응용 프로그램이 아니라 큰 시리즈 중 하나일 뿐입니다. 그중 하나를 살펴보겠습니다. Let (그림 6)은 더 나은 섹스의 대표자가 아니라 평범한 구매자를 의미하며 이들은 자동차, 세탁기, 체중 감량 제품, 여행사 제안 등과 같은 브랜드입니다. 각 구매자는 그가 수락하는 브랜드를 가지고 있으며 거부합니다. 모든 사람에게 무언가를 판매하기 위해 무언가를 할 수 있습니까? 이것은 농담이 끝나는 곳일 뿐만 아니라 이 주제에 대한 기사 작성자의 지식도 있습니다. 내가 아는 것은 분석이 상당히 복잡한 수학을 기반으로 한다는 것입니다.
학교에서 수학을 가르치는 것은 알고리즘을 가르치는 것이다. 이것은 학습의 중요한 부분입니다. 그러나 천천히 우리는 수학적 방법만큼 많은 수학을 배우는 방향으로 나아가고 있습니다. 오늘 강의는 이것에 관한 것이었습니다. 우리는 추상적인 정신 구성에 대해 이야기하고 일상 생활에 대해 생각하고 있습니다. 우리는 판매자-구매자 모델에서 사용하는 역, 전이 및 기타 관계가 있는 세트의 체인 및 안티체인에 대해 이야기하고 있습니다. 컴퓨터가 우리를 위해 모든 계산을 할 것입니다. 그는 아직 수학적 모델을 만들지 않을 것입니다. 우리는 여전히 우리의 생각으로 이깁니다. 어쨌든, 가능한 한 오래도록!
