기하학적 경로 및 덤불

이 기사를 작성하는 동안 Jan Pietrzak이 카바레 Pod Egidą에서 풍자 활동을 하기 전에 불렀던 아주 오래된 노래가 떠올랐습니다. 이 노래는 폴란드 인민 공화국에서 안전 밸브로 인정받았습니다. 시스템의 역설을 솔직히 비웃을 수 있습니다. 이 노래에서 작가는 정치를 하려는 자들을 조롱하고 신문의 라디오를 끄는 등 사회주의 정치 참여를 권고했다. XNUMX세의 Petshak은 아이러니하게도 노래를 불렀습니다.

학교로 돌아가서 책을 읽겠습니다. 나는 Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati"의 책을 (처음이 아니라) 다시 읽고 있습니다. 소수의 독자에게는 단어 자체가 무언가를 말합니다. 이것은 Bhaskara(1114-1185)로 알려진 유명한 힌두 수학자 Akaria의 딸 또는 대수학에 관한 그의 책의 제목을 그 이름으로 지은 현자의 이름입니다. Lilavati는 나중에 유명한 수학자이자 철학자가되었습니다. 다른 소식통에 따르면 책을 직접 쓴 것은 그녀였습니다.

Szczepan Yelensky는 수학에 관한 그의 책(초판, 1926)에 같은 제목을 부여했습니다. 이 책을 수학적 작업이라고 부르기도 어려울 수 있습니다. 퍼즐 세트에 가깝고 대부분 프랑스 소스에서 다시 작성되었습니다 (현대적 의미의 저작권은 존재하지 않았습니다). 어쨌든 수년 동안 수학에 관한 유일한 인기 폴란드 책이었습니다. 나중에 Jelensky의 두 번째 책인 Pythagoras 's Sweets가 추가되었습니다. 그래서 수학에 관심이 있는 젊은이들(정확히 내가 한때 그랬던 것)은 선택할 수 있는 것이 없었습니다...

반면에 "Lilavati"는 거의 외워야 했습니다... 아, 그럴 때가 있었습니다... 그들의 가장 큰 장점은 그때 제가... 십대였다는 것입니다. 오늘날 저는 교육을 잘 받은 수학자의 관점에서 Lilavati를 완전히 다른 방식으로 바라보고 있습니다. 어느 쪽도 그 매력을 잃지 않습니다 ... 개인적인 삶에서 소위 국가적 사상을 고백하는 그의 독특한 스타일 인 Shchepan Yelensky는 서문에 다음과 같이 씁니다.

국가적 특성에 대한 설명은 건드리지 않고 XNUMX년이 지난 후에도 수학에 대한 옐렌스키의 말은 관련성을 잃지 않았다고 말할 것입니다. 수학은 생각하는 법을 가르쳐줍니다. 그것은 사실입니다. 우리는 당신에게 다르게 생각하는 법을 더 간단하고 아름답게 가르칠 수 있습니까? 아마도. 그것은 단지... 우리는 여전히 할 수 없습니다. 나는 수학을 하고 싶지 않은 학생들에게 이것이 지능을 테스트하는 시험이기도 하다고 설명합니다. 정말 간단한 수학 이론을 배울 수 없다면, 그럼... 아마도 당신의 정신 능력이 우리 둘 다 원하는 것보다 나쁠 수 있습니다...?

모래 속의 표지판

그리고 여기 "Lylavati"의 첫 번째 이야기가 있습니다. 프랑스 철학자 Joseph de Maistre(1753-1821)가 설명한 이야기입니다.

난파된 배의 선원은 파도에 의해 사람이 살지 않는 빈 해안에 던져졌습니다. 갑자기 해안가의 모래 속에서 그는 누군가의 앞에 그려진 기하 도형의 자취를 보았다. 그제서야 그는 그 섬이 무인도가 아니라는 것을 깨달았습니다!

Yelensky는 De Mestri를 인용하여 다음과 같이 씁니다. 기하 도형불행하고 난파된 우연의 일치에 대한 무언의 표현이었지만 그는 그에게 비율과 숫자를 한 눈에 보여주었고 이것이 깨달음을 얻은 사람임을 예고했다. 역사만큼은.

선원은 예를 들어 문자 K, ... 및 사람의 존재에 대한 다른 흔적을 그려서 동일한 반응을 일으킬 것입니다. 여기서 기하학이 이상화됩니다.

그러나 천문학자 Camille Flammarion(1847-1925)은 기하학을 사용하여 문명이 멀리서 서로 인사한다고 제안했습니다. 그는 여기서 유일하게 정확하고 가능한 의사 소통 시도를 보았습니다. 그런 화성인들에게 피타고라스 삼각형을 보여줍시다... 그들은 우리에게 탈레스로 답할 것이고, 우리는 비에타 패턴으로 답할 것이고, 그들의 원이 삼각형에 맞을 것이므로 우정이 시작되었습니다...

Jules Verne 및 Stanislav Lem과 같은 작가들은 이 아이디어로 돌아갔습니다. 그리고 1972년에 기하학적(뿐만 아니라) 패턴의 타일이 파이오니어 탐사선에 배치되었습니다. 이 탐사선은 여전히 ​​​​넓은 공간을 가로 지르며 현재 우리로부터 거의 140 천문 단위입니다 (1 I는 지구에서 지구까지의 평균 거리입니다) . 태양, 즉 약 149억 XNUMX만km). 타일은 부분적으로 외계 문명의 수에 대한 논란의 여지가 있는 규칙을 만든 천문학자 Frank Drake가 설계했습니다.

기하학은 놀랍습니다. 우리 모두는 이 과학의 기원에 대한 일반적인 관점을 알고 있습니다. 우리(우리 인간)는 가장 실용적인 목적을 위해 토지(그리고 나중에는 토지)를 측정하기 시작했습니다. 거리를 결정하고, 직선을 그리고, 직각을 표시하고, 부피를 계산하는 것이 점차 필수가 되었습니다. 따라서 전체 기하학 (“지구 측정”), 따라서 모든 수학은 ...

그러나 과학의 역사에 대한 이 명확한 그림은 한동안 우리를 흐릿하게 했습니다. 수학이 운영 목적으로만 필요하다면 우리는 단순한 정리를 증명하는 데 관여하지 않을 것입니다. "당신은 이것이 사실이어야 한다는 것을 알았습니다." 몇몇 직각 삼각형에서 빗변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 것을 확인한 후에 말할 것입니다. 왜 그런 형식주의인가?

매실 파이는 맛있어야 하고, 컴퓨터 프로그램이 작동해야 하고, 기계가 작동해야 합니다. 배럴의 용량을 XNUMX 번 세었고 모든 것이 정상이라면 왜 다른가요?

그러는 동안 고대 그리스인들은 몇 가지 형식적인 증거를 찾아야 한다는 생각이 들었습니다.

따라서 수학은 탈레스(기원전 625-547)에서 시작됩니다. 그 이유를 궁금해하기 시작한 것은 밀레투스였다고 추정된다. 똑똑한 사람들은 무언가를 보고 확신하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 그들은 증명의 필요성, 즉 가정에서 논증에 이르는 논리적인 논증의 순서를 보았습니다.

그들은 또한 더 많은 것을 원했습니다. 신의 개입 없이 자연주의적 방식으로 물리적 현상을 설명하려고 시도한 사람은 아마도 탈레스였을 것입니다. 유럽 ​​철학은 이미 물리학 뒤에 있는 것(따라서 이름: 형이상학)과 함께 자연 철학에서 시작되었습니다. 그러나 유럽의 존재론과 자연 철학의 기초는 피타고라스 학파(Pythagoras, c. 580-c. 500 BC)에 의해 놓였습니다.

그는 아펜니노 반도 남쪽의 크로토네에 자신의 학교를 설립했습니다. 오늘날 우리는 이를 종파라고 부릅니다. 과학(현재의 의미에서), 신비주의, 종교 및 환상은 모두 밀접하게 얽혀 있습니다. Thomas Mann은 소설 Doctor Faustus에서 독일 체육관에서 수학의 교훈을 매우 아름답게 제시했습니다. Maria Kuretskaya와 Witold Virpsha가 번역한 이 단편은 다음과 같습니다.

Charles van Doren의 흥미로운 책인 History of Knowledge from the Dawn of History에서 나는 매우 흥미로운 관점을 발견했습니다. 한 장에서 저자는 피타고라스 학파의 중요성을 설명합니다. 챕터의 제목이 마음에 와 닿았습니다. 그것은 "수학의 발명: 피타고라스 학파"라고 읽습니다.

우리는 종종 수학적 이론이 발견되고 있는지(예: 미지의 땅) 또는 발명되고 있는지(예: 이전에 존재하지 않았던 기계)에 대해 논의합니다. 일부 창의적인 수학자들은 스스로를 연구원으로 보고, 다른 사람들은 발명가나 디자이너로, 덜 자주 카운터로 봅니다.

그러나 이 책의 저자는 일반적으로 수학의 발명에 대해 씁니다.

과장에서 망상으로

이 긴 소개 부분이 끝나면 맨 처음으로 넘어갈 것입니다. 기하학기하학에 대한 과도한 의존이 어떻게 과학자를 오도할 수 있는지 설명합니다. 요하네스 케플러는 물리학과 천문학에서 천체의 세 가지 운동 법칙을 발견한 사람으로 알려져 있습니다. 첫째, 태양계의 각 행성은 초점 중 하나가 태양인 타원 궤도로 태양 주위를 움직입니다. 둘째, 태양에서 끌어온 행성의 선두 광선은 일정한 간격으로 동일한 장을 그립니다. 셋째, 태양 주위의 행성의 공전 주기의 제곱 대 그 궤도의 반장경의 세제곱(즉, 태양으로부터의 평균 거리)의 비율은 태양계의 모든 행성에 대해 일정합니다.

아마도 이것이 세 번째 법칙이었을 것입니다. 이 법칙을 확립하려면 많은 데이터와 계산이 필요했기 때문에 Kepler는 행성의 움직임과 위치에서 패턴을 계속 검색하게 되었습니다. 그의 새로운 "발견"의 역사는 매우 유익합니다. 고대부터 우리는 정다면체뿐만 아니라 우주에 XNUMX개만 있다는 주장도 존경했습니다. XNUMX차원 다면체의 면이 동일한 정다각형이고 각 꼭짓점이 동일한 수의 모서리를 갖는 경우 XNUMX차원 다면체를 정다면체라고 합니다. 실례로, 정다면체의 각 모서리는 "동일하게 보여야" 합니다. 가장 유명한 다면체는 정육면체입니다. 누구나 평범한 발목을 본 적이 있습니다.

정사면체는 잘 알려져 있지 않으며 학교에서는 정삼각뿔이라고 합니다. 피라미드처럼 보입니다. 나머지 세 개의 정다면체는 잘 알려져 있지 않습니다. 정육면체의 모서리 중심을 연결하면 팔면체가 형성됩니다. 360면체와 XNUMX면체는 이미 공처럼 보입니다. 부드러운 가죽으로 만들어져 굴착이 편할 것입니다. XNUMX개의 플라톤의 다면체 외에 정다면체가 없다는 추론은 아주 좋습니다. 먼저, 몸체가 규칙적이라면 동일한 수(q로 하자)의 동일한 규칙적인 다각형이 각 꼭짓점에서 수렴되어야 하며, 이를 p-각이라고 합니다. 이제 우리는 정다각형의 각이 무엇인지 기억해야 합니다. 누군가 학교에서 기억하지 못하는 경우 올바른 패턴을 찾는 방법을 상기시켜줍니다. 우리는 모퉁이를 돌면서 여행을 했습니다. 각 정점에서 우리는 같은 각도로 회전합니다. 우리가 폴리곤 주위를 돌고 시작점으로 돌아갈 때, 우리는 p를 그러한 회전으로 만들었고, 총체적으로 우리는 XNUMX도 회전했습니다.

그러나 α는 계산하려는 각도의 180도 보수이므로

우리는 정다각형의 각도에 대한 공식을 찾았습니다(수학자는 각도 측정이라고 말합니다). 확인해보자: 삼각형 p = 3에는

이와 같이. p = 4(제곱)일 때

학위도 괜찮습니다.

펜타곤에 대해 무엇을 얻을 수 있습니까? 따라서 각 p가 동일한 각도를 갖는 q개의 다각형이 있을 때 어떤 일이 발생합니까?

 한 꼭짓점에서 내림차순? 평면에 있었다면 각이 형성되었을 것입니다.

도이고 360도를 초과할 수 없습니다. 그러면 다각형이 겹치기 때문입니다.

그러나 이러한 다각형은 공간에서 만나기 때문에 각도는 전체 각도보다 작아야 합니다.

그리고 여기에 모든 것이 뒤따르는 불평등이 있습니다.

그것을 180으로 나누고 두 부분에 p를 곱하고 순서 (p-2) (q-2) < 4. 다음은 무엇입니까? p와 q는 자연수여야 하고 p > 2(왜? 그리고 p는 무엇입니까?) 및 q > 2임을 인식합시다. 두 자연수의 곱을 4보다 작게 만드는 방법은 많지 않습니다. 표 1에 모두 나열하겠습니다.

나는 그림을 게시하지 않고 모든 사람이 인터넷에서이 수치를 볼 수 있습니다... 인터넷에서... 나는 서정적 여담을 거부하지 않을 것입니다. 아마도 어린 독자들에게는 흥미로울 것입니다. 1970년에 나는 한 세미나에서 연설했습니다. 주제가 어려웠습니다. 준비 할 시간이 거의 없었고 저녁에 앉았습니다. 본문은 읽기 전용이었습니다. 장소는 아늑하고 일하는 분위기로 음, XNUMX시에 문을 닫았습니다. 그런 다음 신부 (현재 아내) 자신이 저를 위해 전체 기사를 다시 작성하겠다고 제안했습니다. 약 XNUMX ​​페이지의 인쇄 페이지입니다. 나는 그것을 복사했고 (아니, 깃펜이 아니라 펜도 있었다) 강의는 성공적이었다. 오늘 나는 이미 오래된 출판물을 찾으려고 노력했습니다. 나는 저자의 이름만 기억하고 있다... 인터넷 검색은 오랜 시간 지속되었다... XNUMX분 동안. 나는 능글맞은 웃음과 약간의 부당한 후회로 그것에 대해 생각한다.

우리는 돌아가 케플러 i 기하학. 분명히 플라톤은 제XNUMX정규형의 존재를 예언한 것은 온 세상을 하나로 묶는 통일성이 부족했기 때문이다. 아마도 그것이 그가 학생(ajtet)에게 그녀를 찾도록 지시한 이유일 것입니다. 그대로 XNUMX 면체가 발견 된 기반으로 그렇게되었습니다. 우리는 이러한 태도를 플라톤의 범신론이라고 부른다. 뉴턴에 이르기까지 모든 과학자들은 어느 정도 그것에 굴복했습니다. 매우 합리적인 XNUMX세기 이후로 그 영향력은 급격히 줄어들었지만 우리 모두가 어떤 식으로든 그것에 굴복한다는 사실을 부끄러워해서는 안 됩니다.

Kepler의 태양계 구축 개념에서 모든 것이 정확했으며 실험 데이터는 이론과 일치했으며 이론은 논리적으로 일관되고 매우 아름답지만 ... 완전히 틀렸습니다. 그의 시대에는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성 등 여섯 개의 행성만 알려져 있었습니다. 왜 행성이 XNUMX개뿐일까요? 케플러가 물었다. 그리고 어떤 규칙성이 태양으로부터의 거리를 결정합니까? 그는 모든 것이 연결되어 있다고 가정했습니다. 기하학과 우주론 서로 밀접하게 관련되어 있습니다. 고대 그리스의 저술에서 그는 XNUMX개의 정다면체만이 있다는 것을 알았습니다. 그는 XNUMX개의 궤도 사이에 XNUMX개의 빈 공간이 있음을 확인했습니다. 그렇다면 이러한 각 여유 공간은 일부 정다면체에 해당할까요?

몇 년간의 관찰과 이론적인 작업 끝에 그는 궤도의 치수를 아주 정확하게 계산하여 1596년에 출판된 "Mysterium Cosmographicum"이라는 책에서 제시한 다음 이론을 만들었습니다. 거대한 구체를 상상해 보십시오. 그 지름은 태양 주위의 연간 운동에서 수성의 궤도의 지름입니다. 그런 다음 이 구 위에 정팔면체, 그 위에 구체, 그 위에 정이십면체, 다시 구, 십이면체, 다른 구, 그 위에 사면체, 다시 구, 정육면체가 있다고 상상해 보십시오. 그리고 마지막으로 이 입방체에 공이 설명되어 있습니다.

케플러는 이러한 연속적인 구체의 직경이 다른 행성(수성, 금성, 지구, 화성, 목성 및 토성)의 궤도 직경이라고 결론지었습니다. 그 이론은 매우 정확해 보였다. 불행히도 이것은 실험 데이터와 일치했습니다. 그리고 실험 데이터나 관찰 데이터, 특히 "하늘에서 가져온" 데이터와의 일치성보다 수학적 이론의 정확성에 대한 더 나은 증거는 무엇입니까? 이러한 계산을 표 2에 요약했습니다. 그렇다면 케플러는 무엇을 했습니까? 나는 그것이 잘 될 때까지, 즉 구성 (구의 순서)과 결과 계산이 관찰 데이터와 일치 할 때까지 시도하고 시도했습니다. 다음은 최신 Kepler 수치 및 계산입니다.

이론의 매력에 빠져 하늘에서의 측정이 정확하지 않다고 믿을 수 있으며 작업장의 침묵 속에서 이루어진 계산이 아니라고 믿을 수 있습니다. 불행히도 오늘날 우리는 적어도 XNUMX개의 행성이 있으며 결과의 모든 우연은 우연의 일치라는 것을 알고 있습니다. 유감. 너무 아름다웠다...