그래서 누구에게, 즉: 당신이 할 수 있는 곳을 시도하십시오 - 파트 2

지난 에피소드에서는 기본적으로 특정 규칙에 따라 다양한 차트에 숫자를 배열하는 산술 게임인 스도쿠(Sudoku)를 다루었습니다. 가장 일반적인 옵션은 9x9 체스판으로, 3개의 3x1 정사각형으로 더 나뉩니다. 9에서 XNUMX까지의 숫자는 세로 행 (수학자는 다음과 같이 말합니다. 열) 또는 가로 행 (수학자는 다음과 같이 말합니다. 행)에서 반복되지 않도록 설정해야합니다. 반복하지 않는다는 것입니다. 더 작은 사각형 내에서 반복하십시오.

Na 무화과. 1 이 퍼즐은 6 × 6 정사각형이 2 × 3 직사각형으로 나누어진 더 간단한 버전으로 표시됩니다. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6을 삽입하여 수직으로 반복되지 않도록 합니다. 수평으로 또는 선택한 각 육각형에서.

상단 사각형에 표시해 봅시다. 이 게임에 설정된 규칙에 따라 1에서 6까지의 숫자로 채울 수 있습니까? 가능하지만 모호합니다. 봅시다 - 왼쪽에 정사각형을 그리거나 오른쪽에 정사각형을 그립니다.

이것이 퍼즐의 기초가 아니라고 말할 수 있습니다. 우리는 일반적으로 퍼즐에는 하나의 해결책이 있다고 가정합니다. 9x9라는 "큰" 스도쿠의 다양한 기반을 찾는 작업은 어려운 작업이며 이를 완전히 해결할 가능성은 없습니다.

또 다른 중요한 연결은 모순 시스템입니다. 하단 중앙 사각형(오른쪽 하단 모서리에 숫자 2가 있는 사각형)은 완료할 수 없습니다. 왜?

재미와 휴식

계속해서 플레이해 보세요. 아이들의 직관을 활용해보자. 그들은 오락이 학습의 시작이라고 믿습니다. 우주로 가자. 포함됨 무화과. 2 모두가 그리드를 본다 사면체탁구공 같은 공으로 만들어졌나요? 학교 기하학 수업을 기억합시다. 그림 왼쪽의 색상은 블록을 조립할 때 접착되는 내용을 설명합니다. 특히 세 개의 모서리(빨간색) 볼이 하나로 접착됩니다. 따라서 동일한 숫자를 포함해야 합니다. 아마도 9. 왜? 그리고 왜 안돼?

아 내가 말한게 아닌데 задачи. 다음과 같이 들립니다. 각 가장자리에 모든 숫자가 포함되도록 눈에 보이는 격자무늬에 0부터 9까지의 숫자를 맞추는 것이 가능합니까? 이 작업은 어렵지 않지만 많은 상상력이 필요합니다! 나는 독자들의 재미를 망치지 않을 것이며 해결책을 제시하지도 않을 것이다.

이것은 매우 아름답고 과소평가된 형태입니다. 정팔면체, 정사각형 밑면이 있는 두 개의 피라미드(=피라미드)로 만들어졌습니다. 이름에서 알 수 있듯이 팔면체에는 XNUMX개의 면이 있습니다.

팔면체에는 XNUMX개의 꼭지점이 있습니다. 이는 모순된다 입방체XNUMX개의 면과 XNUMX개의 정점이 있는 두 덩어리의 가장자리는 동일합니다-각각 XNUMX. 이것 이중 고체 -이것은 정육면체면의 중심을 연결하면 XNUMX면체가되고 XNUMX면체면의 중심이 정육면체를 얻는다는 것을 의미합니다. 이 두 범프는 모두 수행합니다("해야 하기 때문에"). 오일러의 공식: 꼭지점 개수와 면 개수의 합이 모서리 개수보다 2개 더 많습니다.

3. 평행 투영된 정팔면체와 각 모서리에 XNUMX개의 구가 있는 구들로 구성된 팔면체 격자.

작업 1. 먼저, 수학 공식을 사용하여 이전 단락의 마지막 문장을 작성합니다. ~에 무화과. 3 역시 구로 구성된 팔면체 네트워크가 보입니다. 각 가장자리에는 0개의 공이 있습니다. 각 면은 9개의 구로 구성된 삼각형입니다. 작업은 독립적으로 수행됩니다. 솔리드 본체를 함께 붙인 후 각 벽에 모든 숫자가 포함되도록 그리드의 원에 XNUMX부터 XNUMX까지의 숫자를 넣을 수 있습니까(반복 없이 이어집니다). 이전과 마찬가지로 이 문제의 가장 큰 과제는 메쉬가 어떻게 솔리드로 변하는가입니다. 이에 대해서는 글로 설명할 수 없으므로 여기서도 해결책을 제시하지 않습니다.

4. 탁구공으로 만든 두 개의 정이십면체. 다양한 색 구성표를 확인하세요.

이미 플라톤 (그리고 그는 기원전 XNUMX-XNUMX세기에 살았습니다) 정다면체를 모두 알고 있었습니다: 사면체, 정육면체, 팔면체, 십이 면체 i 정이십면체. 연필도, 종이도, 펜도, 책도, 스마트폰도, 인터넷도 없었습니다! 여기서는 XNUMX면체에 대해 이야기하지 않겠습니다. 하지만 XNUMX면체 스도쿠는 흥미롭습니다. 우리는 이 덩어리를 본다 그림 4그리고 그의 네트워크는 그림 5.

5. 정이십면체 메쉬.

이전과 마찬가지로 이것은 우리가 학교에서 기억하는 (?!) 의미의 그리드가 아니라 공 (공)에서 삼각형을 붙이는 방식입니다.

작업 2. 그러한 정이십면체를 조립하려면 몇 개의 공이 필요합니까? 다음 추론이 여전히 옳습니까? 각 면이 삼각형이므로 면이 20개 있어야 한다면 최대 60개의 구가 필요합니까?

6. 구의 정이십면체 메쉬. 예를 들어 각 원은 탁구공을 나타내지만 동일한 색상으로 표시된 원 위에 원을 만들면 하나의 전체로 병합됩니다. 따라서 우리는 XNUMX개의 구(= XNUMX개의 꼭지점: 빨간색, 파란색, 보라색, 파란색 및 XNUMX개의 노란색)를 갖게 됩니다.

정이십면체의 세 숫자로는 충분하지 않다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 보다 정확하게는 각 (삼각형) 면에 세 개의 숫자가 있고 반복이 없도록 정점에 숫자 1, 2, 3의 번호를 매기는 것이 불가능합니다. 숫자 XNUMX개로 가능한가요? 네 가능해요! 살펴보자 쌀. 6와 7.

7. 각 면에 1, 2, 3, 4 이외의 숫자가 포함되도록 정이십면체를 구성하는 구에 번호를 매기는 방법은 다음과 같습니다. 4번은 이렇게 색칠?

작업 3. 123개의 숫자 중 124개는 134, 234, 7, XNUMX의 네 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그림의 정이십면체에서 그러한 삼각형 XNUMX개를 찾아보세요. XNUMX (또한 삽화 4).

4 할당 (아주 좋은 공간적 상상력이 필요합니다). 정이십면체에는 XNUMX개의 꼭지점이 있는데, 이는 XNUMX개의 공(무화과. 7). 1로 라벨이 지정된 세 개의 정점(= 공), 2로 라벨이 붙은 세 개 등이 있습니다. 따라서 같은 색깔의 공이 삼각형을 이룬다. 이것은 어떤 종류의 삼각형입니까? 어쩌면 등변? 다시 봐 삽화 4.

다음 과제는 조부모와 손자를 위한 것이다. 부모도 마침내 손을 뻗을 수 있지만 인내심과 시간이 필요합니다.

작업 5. 24개(또는 1개 이상)의 탁구공, 2가지 색상의 페인트, 브러시, 필요한 접착제를 구입하세요. Super Glue나 Droplet과 같은 빠른 제품은 너무 빨리 마르고 아이들에게 위험하기 때문에 권장하지 않습니다. 정이십면체를 붙입니다. 즉시 세탁(또는 폐기)될 티셔츠를 손녀에게 입혀주세요. 호일(가급적 신문)로 테이블을 덮습니다. 그림과 같이 정이십면체를 3, 4, XNUMX, XNUMX의 네 가지 색상으로 조심스럽게 색칠합니다. 무화과. 7. 순서를 변경할 수 있습니다. 먼저 풍선에 색을 칠한 다음 붙입니다. 동시에 페인트가 페인트에 달라 붙지 않도록 작은 원을 칠하지 않은 상태로 두어야합니다.

이제 가장 어려운 작업(또는 오히려 전체 시퀀스)입니다.

6 할당 (보다 정확하게는 일반적인 주제). 정사면체, 정팔면체 같은 정이십면체를 만들어 보세요. 쌀. 2와 3 이것은 각 가장자리에 XNUMX개의 볼이 있어야 함을 의미합니다. 이 변형에서 작업은 시간 소모적이며 비용이 많이 듭니다. 얼마나 많은 공이 필요한지 알아내는 것부터 시작합시다. 각 면에는 XNUMX개의 구체가 있으므로 XNUMX면체에는 XNUMX개가 필요합니까? 아니요! 우리는 많은 공이 공유된다는 것을 기억해야 합니다. XNUMX면체에는 몇 개의 모서리가 있습니까? 힘들게 계산할 수 있지만 오일러 공식은 무엇입니까?

w–k+s=2

여기서 w, k, s는 각각 정점, 모서리 및 면의 수입니다. w = 12, s = 20, 즉 k = 30이라는 것을 기억합니다. 정이십면체의 모서리는 30개입니다. 다르게 할 수 있습니다. 20개의 삼각형이 있으면 모서리는 60개뿐이지만 그 중 XNUMX개는 공통이기 때문입니다.

얼마나 많은 공이 필요한지 세어 봅시다. 각 삼각형에는 내부 공이 하나만 있습니다. 몸체의 상단이나 가장자리에는 없습니다. 따라서 우리는 그러한 공을 20개만 갖게 됩니다. 12개의 봉우리가 있습니다. 각 가장자리에는 정점이 아닌 두 개의 볼이 있습니다(가장자리 내부에 있지만 면 내부에는 없음). 모서리가 30개이므로 공은 60개가 되는데 그 중 30개가 공통이므로 공은 20개만 필요하므로 총 12+30+62=50개의 공이 필요합니다. 공은 최소 XNUMX그로셴(보통 그 이상)에 구입할 수 있습니다. 접착제 비용까지 합치면... 많이 나옵니다. 좋은 접착에는 몇 시간의 힘든 작업이 필요합니다. 모두 함께 편안한 오락에 적합합니다. 예를 들어 TV 시청 대신 추천합니다.

침략 안제이 바이다(Andrzej Wajda)의 영화 "연도별, 시대별" 시리즈에서는 두 남자가 "점심 식사 전에 어떻게든 시간을 보내야 하기 때문에" 체스를 두는 모습이 나옵니다. 이것은 갈리시아 크라쿠프에서 발생합니다. 실제로 신문은 이미 읽었으며(당시에는 4페이지였습니다), TV와 전화는 아직 발명되지 않았으며 축구 경기도 없습니다. 웅덩이의 지루함. 그런 상황에서 사람들은 스스로 오락을 생각해 냈습니다. 오늘은 리모콘을 누르면 나오는데...

침략 2019년 수학교사협회 회의에서 스페인의 한 교수가 단단한 벽을 어떤 색상으로든 칠할 수 있는 컴퓨터 프로그램을 시연했습니다. 손만 그렸는데 몸통이 거의 잘려나가서 좀 소름끼쳤어요. 나는 속으로 생각했습니다. 이런 종류의 "그림"에서 얼마나 많은 즐거움을 얻을 수 있습니까? 모든 작업에는 XNUMX분이 걸리며, XNUMX분이 지나면 아무것도 기억나지 않습니다. 한편, 구식 "수공예"는 진정시키고 교육합니다. 믿지 않는 분들은 시도해 보세요.

XNUMX 세기와 현실로 돌아 갑시다. 노동 집약적 인 공 접착 형태의 이완을 원하지 않으면 최소한 가장자리에 XNUMX 개의 공이있는 정 이십 면체 메쉬를 그릴 것입니다. 어떻게 하나요? 제대로 무너지다 그림 6. 주의 깊은 독자라면 이미 문제를 짐작할 수 있을 것입니다.

작업 7. 이 모든 숫자가 정이십면체의 각 면에 있도록 0부터 9까지의 숫자로 공에 번호를 매기는 것이 가능합니까?

우리는 무엇에 대한 대가를 받는가?

오늘날 우리는 종종 우리 활동의 목적에 대해 궁금해하며 "회색 납세자"는 왜 그러한 퍼즐을 풀기 위해 수학자에게 돈을 지불해야 하는지 묻습니다.

대답은 매우 간단합니다. 그 자체로 흥미로운 이러한 "퍼즐"은 "더 심각한 것의 일부"입니다. 결국, 군사 퍼레이드는 어려운 봉사의 외적인, 화려한 부분일 뿐입니다. 한 가지 예만 들겠습니다. 이상하지만 국제적으로 인정받는 수학 주제부터 시작하겠습니다. 1852년에 한 영국 학생이 교수에게 이웃 나라들이 항상 다른 색으로 나타나도록 지도를 네 가지 색으로 칠할 수 있는지 물었습니다. 미국의 와이오밍 주와 유타 주처럼 한 지점에서만 만나는 "이웃" 주를 고려하지 않는다는 점을 덧붙이겠습니다. 교수는 몰랐고... 문제는 백년 넘게 해결책을 기다렸다.

8. REKO 블록의 정이십면체. 플래시 반사경은 정이십면체와 삼각형 및 오각형의 공통점을 보여줍니다. 다섯 개의 삼각형이 각 꼭지점에서 만납니다.

예상치 못한 방향에서 이런 일이 일어났습니다. 1976년에 미국 수학자 그룹은 이 문제를 해결하기 위한 프로그램을 작성했습니다. 그리고 그들은 다음과 같이 결정했습니다. 네 가지 색상이면 항상 충분합니다. 이것은 "수학 기계"의 도움으로 얻은 수학적 사실에 대한 첫 번째 증거였습니다. 컴퓨터는 반세기 전에 (더 이전에는 "전자 두뇌"라고 불렸음) 사용되었습니다.

다음은 특별히 표시된 "유럽지도"(무화과. 9). 공통 국경을 공유하는 국가는 연결되어 있습니다. 지도를 색칠하는 것은 연결된 원이 같은 색이 되지 않도록 해당 그래프(그래프라고 함)의 원을 색칠하는 것과 같습니다. 리히텐슈타인, 벨기에, 프랑스, ​​독일을 보면 세 가지 색만으로는 충분하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 독자 여러분, 원한다면 네 가지 색으로 색칠해 보세요.

9. 유럽에서는 누가 누구와 국경을 접하고 있습니까?

네, 그렇습니다. 하지만 그것이 납세자들의 돈만큼 가치가 있습니까? 그럼 같은 그래프를 조금 다르게 살펴보겠습니다. 주와 국경이 있다는 사실을 잊어버리자. 원은 한 지점에서 다른 지점으로(예: P에서 EST로) 전송되는 정보 패킷을 상징하고 세그먼트는 각각 자체 처리량을 갖는 가능한 연결을 나타냅니다. 최대한 빨리 보내시겠습니까?

먼저, 매우 단순화되었지만 수학적 관점에서 볼 때 매우 흥미로운 상황인 상황을 살펴보겠습니다. 우리는 동일한 대역폭, 즉 1을 갖는 연결 네트워크를 사용하여 S 지점(=시작)에서 M 지점(=완료)으로 무언가를 보내야 합니다. 무화과. 10.

10. Stacyjka Zdroj에서 Megapolis까지의 연결 네트워크.

약 89비트의 정보가 S에서 M으로 전송되어야 한다고 가정해 보겠습니다. 이 단어의 저자는 기차 문제를 좋아하므로 Stacie Zdroj의 관리자이며 그곳에서 144대의 객차를 파견해야 한다고 상상합니다. 메가폴리스 역으로. 왜 144인가? 앞으로 살펴보겠지만 이는 전체 네트워크의 처리량을 계산하는 데 사용됩니다. 용량은 각 사이트에서 1입니다. 자동차 한 대는 단위 시간(XNUMX개의 정보 비트, XNUMX기가바이트)당 이동할 수 있습니다.

모든 자동차가 M에서 동시에 만나도록 합시다. 모두가 89시간 단위로 M에 도착합니다. 보내야 할 매우 중요한 S to M 정보 패키지가 있는 경우 이를 144개 단위 그룹으로 나누고 위와 같이 푸시합니다. 수학적으로 이것이 가장 빠르다는 것을 보장합니다. 89가 필요하다는 걸 내가 어떻게 알았나요? 사실 짐작은 했지만, 짐작하지 못했다면 알아내야 했을 것이다. 키르히호프 방정식 (기억하는 사람이 있습니까? - 이들은 전류의 흐름을 설명하는 방정식입니다). 네트워크 대역폭은 184/89이며 대략 1,62와 같습니다.

기쁨에 대하여

그런데 저는 144번을 좋아합니다. 근처에 복원된 왕성이 없었을 때 저는 이 번호의 버스를 타고 바르샤바의 성 광장으로 가는 것을 좋아했습니다. 아마도 젊은 독자들은 다스가 무엇인지 알고 있을 것입니다. 이것은 12개 사본이지만 나이가 많은 독자만이 122개라는 것을 기억할 것입니다. 144=XNUMX, 이른바 다수입니다. 그리고 학교 커리큘럼보다 수학을 조금 더 아는 사람은 누구나 즉시 이해할 것입니다. 무화과. 10 피보나치 수열이 있고 네트워크 처리량은 "황금수"에 가깝습니다.

피보나치 수열에서 144는 완전제곱수인 유일한 숫자입니다. 백사십사 역시 “즐거운 숫자”입니다. 인도의 아마추어 수학자들은 이렇게 말했습니다. 다타트레야 라마찬드라 카프레카르 1955년에 그는 구성 자릿수의 합으로 나누어지는 숫자를 다음과 같이 명명했습니다.

그 사람이 이 사실을 알았더라면 아담 미스카비지, 그는 확실히 Dzyady에서 아니오를 썼을 것입니다. “이상한 어머니에게서; 그의 혈통은 그의 옛 영웅들입니다/ 그의 이름은 XNUMX이고 단지 더 우아할 뿐입니다. 그의 이름은 XNUMX입니다.

진지하게 즐겨보세요

나는 독자들에게 스도쿠 퍼즐이 확실히 진지하게 받아들여질 만한 재미있는 측면이 있다는 점을 확신시켰기를 바랍니다. 이 주제를 더 이상 전개할 수 없습니다. 아, 제공된 차트에서 전체 네트워크 대역폭을 계산했습니다. 무화과. 9 연립방정식을 작성하는 데는 XNUMX시간 이상이 소요될 것입니다. 아마도 수십 초(!)의 컴퓨터 작업이 필요할 것입니다.