암호와 스파이

오늘 수학 코너에서는 국립어린이재단의 연례 어린이 과학캠프에서 토론한 주제를 살펴보겠습니다. 재단은 과학적 관심을 가진 어린이와 청소년을 찾고 있습니다. 당신은 매우 재능이 있을 필요는 없지만 "과학적 행진"이 필요합니다. 아주 좋은 학교 성적은 필요하지 않습니다. 그것을 시도, 당신은 그것을 좋아할 것입니다. 초등학생 이상, 고등학생이면 신청하세요. 일반적으로 학부모나 학교에서 보고하지만 항상 그런 것은 아닙니다. 재단의 웹 사이트를 찾아 알아보십시오.

이전에 "프로그래밍"이라고 알려진 활동을 언급하는 "코딩"에 대해 학교에서 점점 더 많은 이야기가 있습니다. 이것은 이론 교육자들을 위한 일반적인 절차입니다. 그들은 오래된 방법을 발굴하고 새로운 이름을 부여하며 "진보"가 저절로 이루어집니다. 이러한 주기적 현상이 발생하는 영역이 여러 군데 있습니다.

나는 교훈을 평가절하한다고 결론지을 수 있다. 아니요. 문명의 발달 과정에서 우리는 때로 버려졌다가 되살아나는 과거로 돌아가곤 합니다. 그러나 우리의 모퉁이는 철학적이지 않고 수학적인 것입니다.

특정 공동체에 속한다는 것은 또한 "공통 상징", 공통 독서, 말 및 비유를 의미합니다. 폴란드어 "Szczebrzeszyn에 큰 덤불이 있고 갈대에서 딱정벌레가 윙윙 거리는 소리"를 완벽하게 배운 사람은 딱따구리가하는 일에 대한 질문에 대답하지 않으면 즉시 외국 스파이로 노출됩니다. 물론 그는 질식하고 있습니다!

이것은 단순한 농담이 아닙니다. 1944년 XNUMX월, 독일군은 막대한 비용을 들여 아르덴에서 마지막 공세를 시작했습니다. 그들은 영어를 유창하게 구사하는 군인들을 동원하여 예를 들어 교차로에서 잘못된 방향으로 이끄는 연합군의 움직임을 방해했습니다. 잠시 놀란 후, 미국인들은 군인들에게 의심스러운 질문을 하기 시작했습니다. 텍사스, 네브래스카 또는 조지아 출신의 사람에게는 분명하고 그곳에서 자라지 않은 사람에게는 상상도 할 수 없는 대답이었습니다. 현실에 대한 무지가 바로 사형집행으로 이어졌다.

요점. Lukasz Badowski와 Zaslaw Adamashek의 "책상 서랍 속의 실험실 - 수학"이라는 책을 독자들에게 추천합니다. 수학이 무언가에 정말 유용하다는 것과 '수학 실험'이 빈말이 아니라는 것을 훌륭하게 보여주는 멋진 책이다. 여기에는 무엇보다도 "카드보드 수수께끼"의 설명된 구성이 포함됩니다. 이 장치는 만드는 데 XNUMX분밖에 걸리지 않으며 심각한 암호 기계처럼 작동합니다. 아이디어 자체는 너무 잘 알려져 있었고, 언급된 저자들은 그것을 아름답게 해결했으며, 나는 그것을 약간 변경하고 더 수학적인 옷으로 포장할 것입니다.

쇠톱

바르샤바 교외에 있는 다차 마을의 거리 중 한 곳에서 최근에 육각형 포장 슬래브인 "trlinka"에서 포장 도로가 해체되었습니다. 타는 것은 불편했지만 수학자의 영혼은 기뻐했습니다. 정다각형(즉, 정다각형)으로 평면을 덮는 것은 쉽지 않습니다. 삼각형, 사각형 및 정육각형 만 가능합니다.

이 영적인 기쁨으로 조금 장난을 쳤을 수도 있지만 육각형은 아름다운 모습입니다. 그것으로부터 당신은 상당히 성공적인 암호화 장치를 만들 수 있습니다. 기하학이 도움이 될 것입니다. 육각형에는 회전 대칭이 있습니다. 60도의 배수로 회전하면 자체적으로 겹칩니다. 예를 들어 왼쪽 상단에 문자 A로 표시된 필드 무화과. 1 이 각도를 돌고 나면 상자 A에도 떨어지고 다른 글자도 마찬가지입니다. 이제 그리드에서 각각 다른 문자가 있는 60개의 사각형을 잘라 봅시다. 이렇게 얻은 그리드를 종이 위에 놓습니다. 무료 XNUMX개 필드에 암호화하려는 텍스트의 XNUMX개 문자를 입력합니다. 시트를 XNUMX도 회전시켜 봅시다. XNUMX개의 새 필드가 나타납니다. 메시지의 다음 XNUMX개 문자를 입력하십시오.

쌀. 1. 수학의 즐거움의 트링크.

오른쪽에 무화과. 1 "역에 거대하고 무거운 증기 기관차가 있습니다."라는 방식으로 인코딩된 텍스트가 있습니다.

이제 약간의 학교 수학이 도움이 될 것입니다. 두 숫자를 서로에 대해 몇 가지 방법으로 배열할 수 있습니까?

무슨 어리석은 질문입니까? XNUMX인 경우: 하나는 앞 또는 다른 하나입니다.

괜찮은. 그리고 숫자 XNUMX개?

모든 설정을 나열하는 것도 어렵지 않습니다.

123, 132, 213, 231, 312, 321.

자, XNUMX인분입니다! 그것은 여전히 ​​​​명확하게 철자 될 수 있습니다. 내가 넣은 주문 규칙을 맞춰보세요.

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

숫자가 120일 때 가능한 설정은 XNUMX개입니다. 그들을 부르자 순열. n개 숫자의 가능한 순열 수는 1 2 3 ... n이라고 하는 곱입니다. 강한 느낌표로 표시됩니다: 3!=6, 4!=24, 5!=120. 다음 숫자 6에는 6!=720이 있습니다. 이것을 사용하여 육각형 암호 보호막을 더 복잡하게 만듭니다.

우리는 0에서 5까지의 숫자 순열을 선택합니다(예: 351042). 육각형 스크램블링 디스크의 중간 필드에 대시가 있으므로 "1 위치에" 넣을 수 있습니다. 60. 우리는 보고서를 작성해야 하는 한 장의 종이에 이런 식으로 디스크를 넣습니다. 하지만 바로 쓰지는 않고 180도(즉, 60도)로 60번 돌려서 0글자를 입력합니다. 빈 필드. 우리는 시작 위치로 돌아갑니다. 우리는 다이얼을 XNUMX도, 즉 다이얼의 다섯 "치아"만큼 다섯 번 돌립니다. 우리는 인쇄합니다. 다음 스케일 위치는 XNUMX을 중심으로 XNUMX도 회전된 위치입니다. 네 번째 위치는 XNUMX도이며 이것이 시작 위치입니다.

무슨 일이 일어 났는지 이해합니까? "기계"를 66배 이상 복잡하게 만들 수 있는 추가 기회가 있습니다! 따라서 "자동화 장치"의 두 가지 독립적 인 위치가 있습니다. 그리드 선택과 순열 선택입니다. 그리드는 46656 = 720 방법, 순열 33592320으로 선택할 수 있습니다. 이것은 33 가능성을 제공합니다. XNUMX만 개 이상의 암호! 거의 적기 때문에 일부 격자는 종이에서 잘라낼 수 없습니다.

하부에는 무화과. 1 우리는 다음과 같이 코딩된 메시지를 가지고 있습니다: "나는 당신에게 XNUMX개의 낙하산 사단을 보내고 있습니다." 적이 이 사실을 알게 해서는 안 된다는 것은 이해하기 쉽습니다. 그러나 그는 다음 중 하나를 이해할까요?

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

서명 351042로도?

독일의 암호 기계인 에니그마(Enigma)를 구축 중입니다.

쌀. 2. 암호화 기계의 초기 설정의 예.

순열 (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

이미 언급했듯이 그러한 판지 기계를 만드는 아이디어는 "Lab in a Drawer-Mathematics"라는 책에 있습니다. 내 "구성"은 저자가 제공한 것과 다소 다릅니다.

전쟁 중 독일군이 사용한 암호 기계는 XNUMX진법 암호에서 본 것과 다소 유사한 독창적인 간단한 원리를 가지고 있습니다. 매번 같은 일: 다른 문자에 대한 어려운 할당을 깨다. 교체 가능해야 합니다. 그것을 통제하려면 어떻게 해야 할까요?

어떤 순열도 선택하지 않고 주기 길이가 2인 순열을 선택해 봅시다. 간단히 말해서, 여기에서 몇 달 전에 설명한 "Gaderipoluk"와 같은 것이지만 알파벳의 모든 글자를 포함합니다. ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q 없이 24자에 동의합시다. 그러한 순열은 몇 개입니까? 이것은 고등학교 졸업생을 위한 과제입니다(당장 풀 수 있어야 함). 얼마나? 많은? 수천? 예:

1912098225024001185793365052108800000000 (이 숫자는 읽지 말자). "XNUMX" 위치를 설정할 수 있는 가능성은 매우 많습니다. 그리고 어려울 수 있습니다.

우리 기계는 두 개의 원형 디스크로 구성되어 있습니다. 그 중 하나가 아직 서 있는 것 위에 편지가 쓰여 있습니다. 그것은 다이얼을 끝까지 돌려서 번호를 다이얼했던 오래된 전화의 다이얼과 약간 비슷합니다. 로타리는 두 번째 색 구성표입니다. 가장 쉬운 방법은 핀을 사용하여 일반 코르크에 놓는 것입니다. 코르크 대신 얇은 판이나 두꺼운 판지를 사용할 수 있습니다. Lukasz Badowski와 Zasław Adamaszek는 두 디스크를 모두 CD 상자에 넣을 것을 권장합니다.

ARMATY(쌀. 2와 3). 장치를 제로 위치로 설정합니다(위쪽 화살표). 문자 A는 F에 해당합니다. 내부 회로를 오른쪽으로 한 문자 회전합니다. 인코딩할 문자 R이 있고 이제 A에 해당합니다. 다음 회전 후 문자 M이 U에 해당하는 것을 볼 수 있습니다. 다음 회전(네 번째 다이어그램)은 대응 A - P를 제공합니다. 다섯 번째 다이얼에는 T가 있습니다. - A. 마지막으로 (여섯 번째 원 ) Y – Y 적군은 아마도 우리의 CFFCA가 자신에게 위험할 것이라고 추측하지 못할 것입니다. 그리고 "우리"는 파견을 어떻게 읽을 것입니까? 그들은 동일한 기계, 동일한 "프로그래밍", 즉 동일한 순열을 가져야 합니다. 암호는 위치 XNUMX에서 시작합니다. 따라서 F의 값은 A입니다. 다이얼을 시계 방향으로 돌립니다. 문자 A는 이제 R과 연결됩니다. 그는 다이얼을 오른쪽으로 돌리고 문자 U 아래에서 M 등을 찾습니다. 암호 사무원은 장군에게 달려갑니다.

쌀. 3. 우리 종이 수수께끼의 작동 원리.

쌀. 3. 우리 종이 수수께끼의 작동 원리.

그러한 원시적 수수께끼의 가능성조차도 놀랍습니다. 다른 출력 순열을 선택할 수 있습니다. 정기적으로 하나의 "세리프"가 아니라 육각형과 유사한 특정 매일 변경되는 순서로 할 수 있습니다. 여기에는 더 많은 기회가 있습니다. .. 등. .).

어떻게 추측할 수 있습니까?! 그러나 폴란드 수학자(마리안 레브스키, 헨리크 지갈스키, 저지 루지키) 일어난. 이렇게 얻은 정보는 매우 귀중했습니다. 이전에 그들은 우리 국방의 역사에 똑같이 중요한 기여를 했습니다. 바츨라프 세르핀스키 i 스타니슬라프 마주르케비치1920년 러시아군 규약을 위반한 가로채는 케이블은 Piłsudski에게 Vepsz 강에서 유명한 기동을 할 기회를 주었습니다.

나는 Vaslav Sierpinski(1882-1969)를 기억합니다. 그는 외부 세계가 존재하지 않는 수학자처럼 보였습니다. 그는 1920년의 승리에 대한 그의 참여에 대해 군대와 정치적인 이유로 말할 수 없었습니다.

쌀. 4. 순열(AP)(BF)(CM)(DS)(EW)(GY)(HK)(IU)(JX)(LZ)(NR)(OT)

쌀. 5. 아름다운 장식이지만 암호화에는 적합하지 않습니다. 너무 규칙적으로.

작업 1. Na 무화과. 4 Enigma를 만드는 또 다른 순열이 있습니다. 도면을 제로그래프에 복사합니다. 자동차를 만들고 성과 이름을 코딩하세요. 나의 CWONUE JTRYGT. 메모를 비공개로 유지해야 하는 경우 Cardboard Enigma를 사용하세요.

작업 2. 본 "자동차" 중 하나의 이름과 성을 암호화하지만 (주의!) 추가 합병증이 있습니다. 한 단계 오른쪽으로 돌리지 않고 {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - 즉, 먼저 2, 1, 2, XNUMX, 다시 XNUMX, XNUMX 등 "웨이블릿" . 내 성과 이름이 CZTTAK SDBITH로 암호화되어 있는지 확인하십시오. 이제 Enigma 기계가 얼마나 강력했는지 이해하십니까?

고등학생을 위한 문제 해결. Enigma에 대한 구성 옵션은 몇 개입니까(이 버전에서는 기사에 설명된 대로)? 우리는 24개의 편지를 가지고 있습니다. 첫 번째 문자 쌍을 선택합니다. 이것은 다음에서 수행할 수 있습니다.

방법. 다음 쌍은 다음에서 선택할 수 있습니다.

방법, 더

등. 해당 계산(모든 숫자는 곱해야 함) 후에 다음을 얻습니다.

151476660579404160000

그런 다음 그 숫자를 12로 나눕니다! (12 계승), 동일한 쌍을 다른 순서로 얻을 수 있기 때문입니다. 그래서 결국 우리는 "전체"를 얻습니다.

316234143225,

그것은 300억이 조금 넘습니다. 오늘날의 슈퍼컴퓨터로는 그렇게 많지 않은 것 같습니다. 그러나 순열 자체의 무작위 순서를 고려하면 이 숫자가 크게 증가합니다. 다른 유형의 순열도 생각할 수 있습니다.

참조 :