눈에 다섯 번
2020년 말, 대학과 학교에서 여러 행사가 열렸으며 8월로 연기되었습니다. 그들 중 하나는 파이 데이의 "축하"였습니다. 이를 계기로 9.42월 10.28일 실레지아 대학에서 원격강의를 했고, 이 글은 그 강의를 요약한 것이다. 전체 파티는 3시 9,42분에 시작했고 제 강의는 2시 9,88분에 예정되어 있습니다. 그러한 정확성은 어디에서 오는 것입니까? 간단합니다: 9 곱하기 파이는 약 88이고, π의 10승은 약 28이고, 시간의 XNUMX의 XNUMX승은 XNUMX의 XNUMX승입니다...
이 숫자를 기리는 관습, 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내며 때로는 아르키메데스 상수라고도 합니다. (독일어를 사용하는 문화에서와 마찬가지로) 미국에서 옵니다(또한보십시오: ). 3.14 22월 22:7의 "아메리칸 스타일", 따라서 아이디어. 분수 14/XNUMX가 π에 가깝기 때문에 폴란드 등가물은 XNUMX월 XNUMX일이 될 수 있습니다. 아르키메데스는 이미 알고 있었습니다. 글쎄, XNUMX 월 XNUMX 일은 부대 행사에 가장 좋은시기입니다.
이 XNUMX과 XNUMX분의 XNUMX은 학교에서 평생 우리와 함께 남아 있는 몇 안 되는 수학적 메시지 중 하나입니다. 그게 무슨 뜻인지 모두 알고 있다"눈에 다섯 번". 그것은 언어에 너무 깊이 뿌리박혀 있어서 다른 방식으로 같은 은혜로 표현하기가 어렵습니다. 내가 자동차 수리점에서 수리 비용이 얼마인지 물었을 때, 정비공은 곰곰이 생각해 보더니 “다섯 배에 팔백 즐로티 정도”라고 말했습니다. 나는 상황을 이용하기로 결정했습니다. "대략적인 근사치를 의미합니까?". 정비사는 내가 잘못 들은 줄 알고 “정확히 얼마인지는 모르겠지만 한 눈에 다섯 번 하면 800이 될 것”이라고 되풀이했다.
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무엇에 관한 것입니까? 제XNUMX차 세계대전 이전의 철자는 "아니오"를 함께 사용했고, 나는 그것을 그대로 두었습니다. "황금 배가 행복을 퍼뜨린다"는 생각이 마음에 들지만 여기서 우리는 불필요하게 웅장한 시를 다루고 있지 않습니다. 학생들에게 질문한다. 이 생각은 무엇을 의미하는가? 그러나 이 본문의 가치는 다른 곳에 있습니다. 다음 단어의 문자 수는 파이 확장자의 숫자입니다. 한번 살펴봅시다:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX XNUMX
1596년 독일계 네덜란드 과학자 루돌프 반 셀렌 파이 값을 소수점 이하 35자리까지 계산. 그런 다음이 수치가 그의 무덤에 새겨졌습니다. 그녀는 숫자 파이와 노벨상 수상자에게 시를 바쳤습니다. 비슬라바 쉼보르스카. 쉼보르스카는 이 숫자의 비주기성과 확률이 1일 때 전화번호와 같은 일련의 숫자가 나타날 것이라는 사실에 매료되었습니다. 첫 번째 속성은 모든 무리수(학교에서 기억해야 함)에 내재되어 있지만 두 번째 속성은 증명하기 어려운 흥미로운 수학적 사실입니다. 다음과 같은 기능을 제공하는 앱도 찾을 수 있습니다. 전화번호를 알려주시면 pi에서 위치를 알려드리겠습니다.
둥글림이 있는 곳에 잠이 있다. 둥근 호수가 있다면 그 주위를 걷는 것은 수영하는 것보다 1,57배 더 깁니다. 물론 이것은 통과하는 것보다 100배에서 100배 느리게 수영한다는 의미는 아닙니다. 나는 4,9m 세계 기록을 5m 세계 기록과 공유했습니다. 흥미롭게도 남성과 여성의 결과는 거의 동일하며 XNUMX입니다. 우리는 달리는 것보다 XNUMX배 느리게 수영합니다. 조정은 완전히 다르지만 흥미로운 도전입니다. 꽤 긴 스토리를 가지고 있습니다.
추격하는 악당을 피해 잘생기고 고귀한 굿원은 호수로 항해했다. 악당은 해안을 따라 달리고 그녀가 그를 착륙시키기를 기다립니다. 물론 도브리 로우보다 더 빨리 달리고, 부드럽게 달린다면 도브리가 더 빠르다. 따라서 Evil의 유일한 기회는 해안에서 Good을 얻는 것입니다. 리볼버에서 정확한 샷은 옵션이 아닙니다. Good에는 Evil이 알고 싶어하는 귀중한 정보가 있습니다.
Good은 다음 전략을 고수합니다. 그는 호수를 헤엄쳐 점차 해안에 접근하지만, 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 무작위로 달리는 악한 자의 반대편에 서려고 합니다. 이것은 그림에 나와 있습니다. Evil 시작 위치를 Z로 설정1, Dobre는 호수 한가운데입니다. Zly가 Z로 이동할 때1, Good은 D로 수영합니다.1Bad가 Z에 있을 때2, D에 좋다2. 그것은 지그재그 방식으로 흐를 것이지만 규칙을 준수합니다: 가능한 한 Z에서 멀리. "악의 반대편에 있다"는 원칙을 고수하십시오. 그런 다음 그는 악마가 호수를 우회하지 않기를 바라면서 온 힘을 다해 해안으로 노를 저었습니다. Good이 성공할까요?
대답은 Bad의 다리 값과 관련하여 Good이 얼마나 빨리 노를 저을 수 있는지에 달려 있습니다. 나쁜 사람이 호수에서 좋은 사람의 속도의 s배 속도로 달렸다고 가정합니다. 결과적으로 선이 악에 저항하기 위해 노를 저을 수 있는 가장 큰 원의 반지름은 호수 반지름보다 한 배 작습니다. 그래서 그림에서 우리는 가지고 있습니다. W 지점에서 우리 종족은 해안을 향해 노를 저어 가기 시작합니다. 이건 가야해
속도로
그는 시간이 필요합니다.
Wicked는 그의 모든 최고의 발을 쫓고 있습니다. 그는 선택한 유닛에 따라 몇 초 또는 몇 분이 걸리는 원의 절반을 완료해야 합니다. 이것이 해피엔딩 이상이라면:
좋은 사람이 갈 것입니다. 간단한 계정은 그것이 무엇인지 보여줍니다. Bad Man이 Good Man의 4,14배보다 빨리 실행되면 끝이 좋지 않습니다. 그리고 여기에서도 우리의 숫자 pi가 개입합니다.
둥근 것은 아름답다. 장식용 접시 세 장의 사진을 봅시다. 부모님을 따라 가지고 있습니다. 그들 사이의 곡선 삼각형의 면적은 얼마입니까? 이것은 간단한 작업입니다. 정답은 같은 사진에 있습니다. 우리는 그것이 공식에 나타나는 것에 놀라지 않습니다. 결국 진원도가 있는 곳에 파이가 있습니다.
익숙하지 않은 단어를 사용했습니다. 이것은 독일어권 문화에서 숫자 pi의 이름이며, 네덜란드 덕분에이 모든 것이 가능합니다 (실제로 네덜란드에 살았던 독일인-당시 국적은 중요하지 않았습니다). 서울의 루돌프... 1596년 지. 그는 십진법으로 35자리를 계산했습니다.. 이 기록은 1853년까지 유지되었다. 윌리엄 러더퍼드 440석 계산. 수동 계산 기록 보유자는 (아마도 영원히) 윌리엄 생크스그는 수년간의 작업 끝에 (1873년) 702자리로 확장. 1946년에 와서야 마지막 180자리가 잘못된 것으로 밝혀졌지만 여전히 그대로였습니다. 527이 맞습니다. 버그 자체를 찾는 것이 흥미로웠습니다. Shanks의 결과가 발표된 직후 그들은 "뭔가 잘못됐다"고 의심했습니다. 아직 입증되지 않은(2020년 XNUMX월) 가설에 따르면 모든 숫자는 동일한 빈도로 나타나야 합니다. 이로 인해 D.T. Ferguson은 Shanks의 계산을 수정하고 "학습자의" 오류를 찾았습니다!
나중에 계산기와 컴퓨터가 사람들을 도왔습니다. 현재(2020년 XNUMX월) 기록 보유자는 티모시 멀리컨 (소수점 50조 자리). 계산에는 ... 303일이 걸렸습니다. 놀자: 표준 책에 인쇄된 이 숫자가 얼마나 많은 공간을 차지하는지. 최근까지 인쇄된 텍스트 "측면"은 1800자(30행 x 60행)였습니다. 문자 수와 페이지 여백을 줄이고 페이지당 5000자를 채우고 50페이지의 책을 인쇄합시다. 따라서 XNUMX조 문자는 XNUMX만 권의 책이 필요합니다. 나쁘지 않죠?
문제는 그러한 투쟁의 요점이 무엇입니까? 순전히 경제적인 관점에서 납세자가 수학자들의 그러한 "유흥"에 대해 지불해야 하는 이유는 무엇입니까? 답은 어렵지 않습니다. 첫 번째, 서울렌에서 계산을 위해 발명된 공백, 로그 계산에 유용합니다. 만약 그가 들었다면: 제발, 공백을 만드세요, 그는 대답했을 것입니다: 왜? 마찬가지로 명령:. 아시다시피, 이 발견은 전적으로 우연이 아니었지만 그럼에도 불구하고 다른 유형의 연구의 부산물이었습니다.
둘째, 그가 쓴 것을 읽어 봅시다. 티모시 멀리컨. 다음은 그의 작업 시작 부분을 재현한 것입니다. Mullican 교수는 사이버 보안 분야에 종사하고 있으며 파이는 그의 새로운 사이버 보안 시스템을 방금 테스트한 작은 취미입니다.
그리고 엔지니어링에서 3,14159는 충분합니다. 그것은 또 다른 문제입니다. 간단한 계산을 해보자. 목성은 태양에서 4,774Tm 떨어져 있습니다(테라미터 = 1012미터). 반경이 1mm라는 터무니없는 정밀도로 그러한 원의 둘레를 계산하려면 π = 3,1415926535897932를 취하는 것으로 충분합니다.
다음 사진은 레고 브릭의 1774/3,08원을 보여줍니다. XNUMX개의 패드를 사용했는데 XNUMX파이 정도였습니다. 최고는 아니지만 무엇을 기대해야 할까요? 원은 사각형으로 구성될 수 없습니다.
정확히. 숫자 pi는 다음과 같이 알려져 있습니다. 원형 사각형 - 그리스 시대부터 2000년 이상 동안 그 해답을 기다려온 수학 문제. 나침반과 직선자를 사용하여 면적이 주어진 원의 면적과 같은 정사각형을 만들 수 있습니까?
"원의 사각형"이라는 용어는 불가능한 것의 상징으로 구어에 입력되었습니다. 키를 눌러 묻습니다. 이것은 아름다운 우리 나라의 시민들을 갈라놓는 적대감의 참호를 메우려는 일종의 시도입니까? 그러나 나는 수학에서만 느낄 수 있기 때문에 이미이 주제를 피합니다.
그리고 다시 똑같은 것-원을 제곱하는 문제에 대한 해결책은 해결책의 저자가 찰스 린데만, 1882년에 설립되어 마침내 성공했습니다. 어느 정도는 그렇습니다. 그러나 그것은 광범위한 전선에서 공격을 받은 결과였습니다. 수학자들은 다른 종류의 숫자가 있다는 것을 배웠습니다. 정수뿐만 아니라 합리적 (즉, 분수) 및 비합리적입니다. 측정 불가능성은 더 좋거나 더 나쁠 수도 있습니다. 무리수는 정사각형의 대각선 길이와 한 변의 길이의 비율을 나타내는 숫자인 √2라는 것을 학교에서 기억할 것입니다. 임의의 무리수와 마찬가지로 무한 확장을 갖습니다. 주기적 확장은 유리수의 속성, 즉 개인 정수:
여기서 숫자 142857의 시퀀스는 무한정 반복됩니다. √2의 경우 이런 일이 발생하지 않습니다. 하지만 넌 할수있어:
(분수는 영원히 계속됩니다). 여기서 패턴을 볼 수 있지만 다른 유형입니다. Pi는 그렇게 흔하지도 않습니다. 대수 방정식, 즉 제곱근도 로그도 삼각 함수도 없는 방정식을 풀어서 얻을 수 없습니다. 이것은 이미 구성할 수 없음을 보여줍니다. 원을 그리면 XNUMX차 함수로 이어지고 선(직선)은 XNUMX차 방정식으로 이어집니다.
아마도 나는 메인 플롯에서 벗어났습니다. 모든 수학의 발전만이 우리를 위해 유럽의 사고 문화를 창조한 사상가들의 고대 아름다운 수학으로 돌아가는 것을 가능하게 했습니다.
많은 대표적인 패턴 중에서 두 가지를 선택했습니다. 그들 중 첫 번째는 성과 관련이 있습니다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 (1646-1716).
그러나 그는 Sangamagram(1350-1425)의 중세 힌두 학자 Madhava에게 알려졌습니다(Leibniz가 아닌 모델). 그 당시 정보 전송은 그다지 좋지 않았습니다. 인터넷 연결은 종종 버그가 있었고 휴대폰 용 배터리도 없었습니다 (전자 제품이 아직 발명되지 않았기 때문입니다!). 공식은 아름답지만 계산에는 쓸모가 없습니다. 3,15159가지 재료에서 "단지" XNUMX가 얻어집니다.
그는 조금 낫다 비에테의 공식 (이차 방정식에서 나온 것), 곱의 다음 항이 이전 더하기 XNUMX의 제곱근이기 때문에 공식을 프로그래밍하기 쉽습니다.
우리는 원이 둥글다는 것을 압니다. 이것은 100% 라운드라고 말할 수 있습니다. 수학자는 다음과 같이 질문할 것입니다. 1% 라운드가 아닌 것이 있을 수 있습니까? 분명히 이것은 예를 들어 뜨거운 얼음과 같은 숨겨진 모순을 포함하는 문구 인 모순입니다. 하지만 모양이 얼마나 둥글 수 있는지 측정해 봅시다. S는 면적이고 L은 그림의 둘레인 다음 공식에 의해 좋은 척도가 주어진다는 것이 밝혀졌습니다. 원이 정말 둥글고 시그마가 6이라는 것을 알아봅시다. 원의 넓이는 원주입니다. 우리는 ...을 삽입하고 무엇이 옳은지 봅니다. 사각형은 얼마나 둥글까요? 계산은 간단합니다. 제공하지도 않겠습니다. 반지름이 있는 원에 새겨진 정육각형을 가져옵니다. 둘레는 분명히 XNUMX입니다.
폴
정육각형은 어떻습니까? 둘레는 6이고 넓이는
그래서 우리는
대략 0,952와 같습니다. 육각형은 95% 이상 "원형"입니다.
스포츠 경기장의 진원도를 계산하면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다. IAAF 규정에 따르면 직선과 곡선의 길이는 40m여야 하지만 편차는 허용됩니다. 오슬로의 비슬레 스타디움은 좁고 길었던 것으로 기억합니다. 나는 (아마추어를 위해!) 심지어 그것을 달렸 기 때문에 "was"라고 썼지 만 XNUMX 년 이상 전입니다. 한번 살펴봅시다:
호의 반지름이 100미터인 경우 해당 호의 반지름은 미터입니다. 잔디밭의 면적은 제곱미터이고 그 밖의 면적(스프링보드가 있는 곳)은 총 제곱미터입니다. 이것을 공식에 대입해보자:
그렇다면 스포츠 경기장의 진원도는 정삼각형과 관련이 있을까요? 정삼각형의 높이는 한 변의 곱과 같기 때문입니다. 숫자의 무작위 우연의 일치이지만 좋습니다. 좋아요. 그리고 독자들?
글쎄, 둥글다는 것은 좋은 일이지만 우리 모두에게 영향을 미치는 바이러스가 둥글기 때문에 어떤 사람들은 반대할 수도 있습니다. 적어도 그것이 그들이 그것을 그리는 방법입니다.
