새로운 기계 수학? 우아한 패턴과 무력감
일부 전문가에 따르면 기계는 인간이 본 적도 생각해본 적도 없는 완전히 새로운 수학을 발명하거나 발견할 수 있습니다. 다른 사람들은 기계가 스스로 아무것도 발명하지 않고 우리가 알고 있는 공식을 다른 방식으로 표현할 수 있을 뿐이며 일부 수학적 문제를 전혀 해결할 수 없다고 주장합니다.
최근 이스라엘 Technion Institute와 Google의 과학자 그룹이 발표했습니다. 정리 생성을 위한 자동화 시스템그들은 수학자의 이름을 따서 라마누잔 기계라고 불렀습니다. 스리니바시 라마누잔정식 교육을 거의 또는 전혀 받지 않고 정수론에서 수천 가지의 획기적인 공식을 개발했습니다. 연구진이 개발한 시스템은 독창적이고 중요한 여러 공식을 수학에 나타나는 보편적인 상수로 바꾸어 놓았다. 이 주제에 대한 논문이 Nature 저널에 게재되었습니다.
기계 생성 공식 중 하나를 사용하여 다음과 같은 범용 상수의 값을 계산할 수 있습니다. 카탈루냐 번호, 이전에 알려진 인간이 발견한 공식을 사용하는 것보다 더 효율적입니다. 그러나 과학자들은 다음과 같이 주장합니다. 라마누잔의 차 그것은 사람들에게서 수학을 빼앗기 위한 것이 아니라 수학자들에게 도움을 주기 위한 것입니다. 그러나 이것이 그들의 시스템에 야망이 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 그들이 쓴 것처럼 기계는 "위대한 수학자들의 수학적 직관을 모방하고 더 많은 수학적 탐구를 위한 힌트를 제공하려고 시도합니다."
시스템은 연속 분수 또는 연속 분수(1)라고 하는 우아한 공식으로 작성된 범용 상수(예:)의 값에 대해 가정합니다. 이것은 실수를 분수로 특별한 형태로 표현하는 방법의 이름 또는 그러한 분수의 극한입니다. 연속 분수는 유한하거나 무한히 많은 몫을 가질 수 있습니다.i/bi; 분수 Ak/Bk (k + 1)번째부터 시작하여 연속된 분수에서 부분 분수를 버린 값을 k번째 환원이라고 하며 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.-1=1,A0=b0, B-1=0,V0=1, Ak=bkAk-1+akAk-2, Bk=bkBk-1+akBk-2; 일련의 환원이 유한 극한으로 수렴하면 연속된 부분을 수렴이라고 하고, 그렇지 않으면 발산합니다. 다음과 같은 경우 연속된 분수를 산술이라고 합니다.i=1, p0 완료, bi (i>0) – 천연; 산술 연속 분수가 수렴합니다. 모든 실수는 유리수에 대해서만 유한한 연속된 산술 분수로 확장됩니다.
1. Pi를 연분수로 쓰는 예
라마누잔 기계의 알고리즘 왼쪽에 범용 상수를 선택하고 오른쪽에 연분수를 선택한 다음 각 변을 약간의 정밀도로 개별적으로 계산합니다. 양면이 겹치는 경우 일치가 일치하거나 부정확하지 않도록 수량을 더 정확하게 계산합니다. 중요한 것은 범용 상수의 값을 예를 들어 정밀도로 계산할 수 있는 공식이 이미 있으므로 페이지 일치를 확인하는 데 유일한 장애물은 계산 시간입니다.
이러한 알고리즘을 구현하기 전에 수학자들은 기존 알고리즘을 사용해야 했습니다. 수학적 지식 i 정리그런 가정을 합니다. 알고리즘에 의해 생성된 자동 추측 덕분에 수학자들은 이를 사용하여 숨겨진 정리 또는 보다 "우아한" 결과를 재현할 수 있습니다.
연구자들의 가장 주목할 만한 발견은 새로운 지식이라기보다는 놀랍도록 중요한 새로운 가정입니다. 이를 통해 카탈루냐 상수 계산, 많은 수학적 문제에서 값이 필요한 범용 상수입니다. 새로 발견된 가정에서 연분수로 표현하면 컴퓨터에서 처리하는 데 시간이 더 오래 걸리는 이전 공식을 물리치고 현재까지 가장 빠른 계산이 가능합니다. 이것은 컴퓨터가 처음으로 체스 플레이어를 이겼을 때부터 컴퓨터 과학의 새로운 발전 지점을 표시하는 것 같습니다.
AI가 처리할 수 없는 것
기계 알고리즘 보시다시피 그들은 혁신적이고 효율적인 방식으로 몇 가지 작업을 수행합니다. 다른 문제에 직면하면 그들은 무력합니다. 캐나다 워털루 대학교(University of Waterloo)의 연구원 그룹은 기계 학습. 이 발견은 지난 세기 중반 오스트리아 수학자 쿠르트 괴델이 설명한 역설과 관련이 있습니다.
수학자 Shai Ben-David와 그의 팀은 Nature 저널에 게재된 간행물에서 최대 예측(EMX)이라는 기계 학습 모델을 발표했습니다. 간단한 작업이 인공 지능으로는 불가능한 것으로 판명된 것 같습니다. 팀에서 제기한 문제 샤이 벤 데이비드 사이트를 가장 자주 방문하는 독자를 대상으로 가장 수익성이 높은 광고 캠페인을 예측하는 것으로 귀결됩니다. 가능성의 수가 너무 많아서 신경망은 처리할 수 있는 데이터의 작은 샘플만 가지고 웹사이트 사용자의 행동을 정확하게 예측하는 기능을 찾을 수 없습니다.
신경망이 제기하는 문제 중 일부는 Georg Cantor가 제기한 연속체 가설과 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 독일 수학자는 자연수 집합의 기수가 실수 집합의 기수보다 작다는 것을 증명했습니다. 그러고는 대답할 수 없는 질문을 했다. 즉, 그는 카디널리티가 카디널리티보다 작은 무한 집합이 있는지 궁금해했습니다. 실수 집합그러나 더 많은 힘 자연수 집합.
XNUMX 세기 오스트리아 수학자. 쿠르트 괴델 연속체 가설이 현재의 수학적 시스템에서 결정 불가능하다는 것을 증명했습니다. 이제 신경망을 설계하는 수학자들이 비슷한 문제에 직면한 것으로 밝혀졌습니다.
그래서 우리 눈에는 보이지 않지만 보는 바와 같이 근본적인 한계 앞에서는 무기력하다. 과학자들은 예를 들어 무한 집합과 같은 이 클래스의 문제가 있는지 궁금해합니다.
